Question

20．當(dāng)代物理理論認(rèn)為：當(dāng)一個(gè)體系的勢(shì)能最小時(shí)，系統(tǒng)會(huì)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個(gè)規(guī)律稱(chēng)為“最小勢(shì)能原理”．
如圖甲所示，兩個(gè)帶正電的小球A、B套在一個(gè)傾斜的光滑直桿上，兩球均可視為點(diǎn)電荷，其中A球固定，帶電量Q_A=2×10^-4C，B球的質(zhì)量為m=0.1kg．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿桿向上建立直線坐標(biāo)系如乙圖，B球的總勢(shì)能隨位置x的變化規(guī)律如圖中曲線Ⅰ所示，直線Ⅱ?yàn)榍�線I的漸近線，P點(diǎn)為曲線Ⅰ的最低點(diǎn)，坐標(biāo)為（6m、6J），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2m、10J）．甲圖中M點(diǎn)離A點(diǎn)距離為6m．（g取10m/s²，靜電力恒量k=9.0×10⁹N•m²/C²．）
（1）求桿與水平面的夾角θ；
（2）求B球的帶電量Q_B；
（3）求M點(diǎn)電勢(shì)φ_M；
（4）若B球以E_k0=4J的初動(dòng)能從M點(diǎn)開(kāi)始沿桿向上滑動(dòng)，求B球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離A球的最近距離及此時(shí)B球的加速度．

Answer 1

分析 （1）由圖知，E_p=mgxsinθ=kx，從而桿與水平面的角度θ；
（2）由圖乙中曲線Ⅰ知，在x=6m處總勢(shì)能最小，B球的動(dòng)能最大，受力平衡，根據(jù)平衡條件和庫(kù)侖定律求解電荷B球的帶電量Q_B；
（3）求M點(diǎn)的電勢(shì)能，根據(jù)電勢(shì)和電勢(shì)能關(guān)系求解電勢(shì)；
（4）根據(jù)能量守恒求出B球的總勢(shì)能，由圖讀出x．由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解加速度a．

解答 解：（1）漸進(jìn)線Ⅱ表示B的重力勢(shì)能隨位置的變化關(guān)系，即：
E_p=mgxsinθ=kx
得：sinθ=$\frac{k}{mg}$=$\frac{\frac{5}{10}}{0.1×10}$=0.5
即：θ=30°；
（2）由圖乙中的曲線Ⅰ知，在x=6m出總勢(shì)能最小，動(dòng)能最大，該位置B受力平衡，則有：
mgsin30°=k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{6}^{2}}$
即：1×$\frac{1}{2}$=9×10⁹×$\frac{2×1{0}^{-4}×{Q}_{B}}{{6}^{2}}$
解得：Q_B=1×10^-5C；
（3）M點(diǎn)的電勢(shì)能為：E_PM=E_總-E_P=6J-3J=3J
M點(diǎn)電勢(shì)為：φ_M=$\frac{{E}_{pM}}{{Q}_{B}}$=$\frac{3}{1×{0}^{-5}}$V=3×10⁵；
（4）在M點(diǎn)B球總勢(shì)能為6J，根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)B的動(dòng)能為零，總勢(shì)能為10J，由曲線Ⅰ知B離A的最近距離為：
x=2m
k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{x}^{2}}$-mgsinθ=ma
解得：a=9×10⁹×$\frac{2×1{0}^{-4}×1×1{0}^{-5}}{0.1×{2}^{2}}$-10sin30°=40m/s²，方向沿桿向上；
答：（1）桿與水平面的夾角θ為30°；
（2）B球的帶電量Q_B是1×10^-5C；  
（3）M點(diǎn)電勢(shì)φ_M是3×10⁵V；
（4）B球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離A球的最近距離是2m，此時(shí)B球的加速度是40m/s²，方向沿桿向上．

點(diǎn)評(píng) 此題考查讀圖能量，注意選擇合適的點(diǎn)，知道B球的動(dòng)能最大時(shí)合力為零，明確小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總能量守恒，要熟練應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和能量守恒解題．