Question

5．如圖所示，甲、乙、丙是位于同一直線上的離其它恒星較遠的三顆恒星，甲、丙圍繞乙在半徑為R的圓軌道上運行，若三顆星質量均為M，萬有引力常量為G，則（　　）

• A． 甲星所受合力為$\frac{3G{M}^{2}}{4{R}^{2}}$
• B． 乙星所受合力為$\frac{G{M}^{2}}{{R}^{2}}$
• C． 甲星做圓周運動的周期為4π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{5GM}}$
• D． 丙星做圓周運動的線速度大小為5$\sqrt{\frac{GM}{2R}}$

Answer 1

分析 根據萬有引力定律分別求出甲星和乙星所受的合外力大小，甲丙靠萬有引力的合力提供向心力，角速度相等，線速度的大小相等．根據萬有引力提供向心力求出周期、線速度的大小．

解答 解：A、甲星所受的合力為：${F}_{甲}^{\;}=G\frac{{M}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+G\frac{{M}_{\;}^{2}}{4{R}_{\;}^{2}}=\frac{5}{4}\frac{G{M}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$．故A錯誤．
B、乙星受到甲、丙兩星所受的引力大小相等，方向相反，所受的合力為零．故B錯誤．
C、根據$\frac{5G{M}_{\;}^{2}}{4{R}_{\;}^{2}}=M\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$得甲星做圓周運動的周期為：$T=4π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{5GM}}$．故C正確．
D、丙星所受的合力與甲星所受的合力大小相等，根據$\frac{5GM}{4{R}_{\;}^{2}}=M\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得：v=$\sqrt{\frac{5GM}{4R}}$．故D錯誤．
故選：C．

點評 解決本題的關鍵知道星體做圓周運動向心力的來源，甲丙兩星所受的合力相等，軌道半徑相等，角速度相等，線速度大小相等．