Question

14．在豎直平面內的直角坐標系xOy，x軸沿水平方向，如圖甲所示，第二象限內有一水平向右的勻強電場，場強為E₁，坐標系的第一象限內有一正交的勻強電場和勻強交變磁場，電場方向豎直向上，場強E₂=$\frac{{E}_{1}}{2}$勻強磁場方向垂直紙面，一個質重m=0.01g、帶電荷量9=+1.0×10^-3C的微粒以v₀=4m/s的速度垂直x軸從A點豎直向上射入第二象限，隨后又以v₁=8m/s的速度從+y軸上的C點沿水平方向進入第一象限，取微粒剛進入第一象限的時刻為0時刻，磁感應強度按圖乙所示規律變化（以垂直紙面向外的磁場方向為正方向），重力加速度月取10m/s²．求：
（1）A點和C點的坐標值；
（2）要使帶電微粒通過C點后的運動過程中不再越過y軸，求交變磁場的磁感應強度B₀和變化周期T₀的乘積B₀T₀應滿足的關系；
（3）若在+x軸上取一點D，使OD=$\sqrt{3}$OC，在滿足第（2）問的條件下，要使微粒沿x正方向通過D點，求磁感應強度B₀的最小值及磁場的變化周期T₀的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用運動的合成和分解，針對每個方向的分運動運用牛頓第二定律結合運動學規律求解；
（2）找到不越過y軸的臨界情況，畫出過程圖，根據幾何知識知轉過的圓心角，再根據周期和角度關系列式求解；
（3）要使微粒沿x正方向通過D點，作出粒子的運動的軌跡圖，根據洛倫茲力提供向心力，得出粒子在磁場中運動的半徑大小，結合幾何關系，求出磁感應度的通項表達式，再根據周期的關系求出磁場的變化周期T₀的通項表達式，最后分析通項表達式找出B₀與T₀的最值情況．

解答 解：（1）在第二象限內，帶電粒子受豎直向下的重力mg和水平向右的電場力qE₁作用，
在豎直方向上有：t=$\frac{{v}_{0}}{g}$，h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
在水平方向上有：x=$\frac{{v}_{1}}{2}$t
解得：h=0.8m，x=1.6m
即A點的坐標為（-1.6，0），C點的坐標為（0，0.8）
（2）由第（1）問可知：qE₁=2mg，又因為E₂=$\frac{{E}_{1}}{2}$，解得：qE₂=mg，且方向相反，二力恰好平衡，所以帶點微粒在第一象限內做勻速圓周運動
當交變磁場周期取最大值而微粒不再越過y軸時，其他情況均不會再越過，此時運動情景如圖所示

由圖可知：θ=$\frac{5}{6}$π，即交變磁場的變化周期T₀需滿足T₀≤$\frac{5}{6}T$
根據向心力公式有：qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
根據圓周運動周期公式有：T=$\frac{2πR}{{v}_{1}}$
解得：B₀T₀≤$\frac{π}{60}$kg/C
（3）要使微粒從C點運動到D點，其軌跡示意圖如圖所示：

由于OD=$\sqrt{3}$OC，則有：α=60°
根據向心力公式有：qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由圖中幾何關系有：h=R，隨著磁感應強度的變化，微粒可以重復多次上述運動至D點
所以有：h=nR（其中n=1，2，3…）
解得：B₀=0.1n（其中n=1，2，3…）
根據第（2）問求解可知，微粒做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
又因為$\frac{{T}_{0}}{2}$=$\frac{T}{6}$
解得：T₀=$\frac{π}{15n}$（其中n=1，2，3…）
分析可知，當n=1時，B₀達到最小值為0.1T，T₀達到最大值為$\frac{π}{15}$s．
答：（1）A點的坐標為（-1.6，0），C點的坐標為（0，0.8）；
      （2）要使帶電微粒通過C點后的運動過程中不再越過y軸，交變磁場的磁感應強度B₀和變化周期T₀的乘積應滿足B₀T₀≤$\frac{π}{60}$kg/C
      （3）若在+x軸上取一點D，使OD=$\sqrt{3}$OC，在滿足第（2）問的條件下，要使微粒沿x正方向通過D點，磁感應強度B₀的最小值為0.1T，磁場的變化周期T₀的最大值為$\frac{π}{15}$s．

點評 本題考查帶電粒子在復合場（電場與重力場）中運動，帶電粒子在磁場中的運動，分析受力，確定質點的運動情況是解題的基礎．結合粒子運動的周期性以及臨界狀態，運用數學幾何知識綜合求解；解題時要作出準確規范的運動過程圖，以便更快地找到幾何關系．