Question

11．水平放置的平行金屬板相距為d，板間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，極板按如圖所示的方式接入電路．已知電源內阻為r，滑動變阻器的總阻值為R，滑片P的位置位于變阻器的中點．有一個質量為m、電荷量為+q的帶電粒子，從兩板中間左端沿中心線水平射入場區．不計粒子重力．
（1）若不給金屬板充電，求粒子初速度v₀為多大時，可以垂直打在金屬飯上？
（2）閉合開關S，讓粒子仍以相同初速度v₀射入，而從兩板間沿直線穿過，求電源電動勢E是多大？
（3）若將磁場撤去，其他條件不變，讓粒子仍以相同初速度v₀射入，要使粒子打在極板上，則極板至少多長？

Answer 1

分析 （1）S斷開時，粒子進入磁場做勻速圓周運動，當粒子垂直打在金屬板上時，軌跡半徑為$\frac{1}{2}$d，根據牛頓第二定律，結合洛倫茲力公式即可求解；
（2）S閉合時，粒子做勻速直線運動時，洛倫茲力等于電場力，再由U=Ed、電阻與電壓的關系，即可求解．
（3）撤去磁場，兩極板間只有電場，粒子在極板間做類平拋運動，應用類平拋運動知識可以求出極板的最小長度．

解答 解：（1）粒子進入磁場做勻速圓周運動，當粒子垂直打在金屬板上時，
由幾何關系可知，粒子的運動半徑：r=$\frac{1}{2}$d，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：v₀=$\frac{qBd}{2m}$；
（2）閉合后回路中的總電流為：I=$\frac{E}{R+r}$，
兩板間的電壓為：U=I$\frac{R}{2}$=$\frac{ER}{2（R+r）}$，
因為粒子做勻速直線運動，洛倫茲力等于電場力，
則有：qv₀B=q$\frac{U}p9vv5xb5$，解得，電源電動勢：E=$\frac{q（R+r）{B}^{2}p9vv5xb5^{2}}{mR}$；
（3）撤去磁場，粒子在兩極板間做類平拋運動，
粒子恰好打在極板上時，
水平方向：L=v₀t，
豎直方向：$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qU}{md}$t²，
解得：L=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
答：（1）若不給金屬板充電，粒子初速度v₀為$\frac{qBd}{2m}$時，可以垂直打在金屬飯上；
（2）閉合開關S，讓粒子仍以相同初速度v₀射入，而從兩板間沿直線穿過，電源電動勢E是$\frac{q（R+r）{B}^{2}p9vv5xb5^{2}}{mR}$；
（3）若將磁場撤去，其他條件不變，讓粒子仍以相同初速度v₀射入，要使粒子打在極板上，極板至少長$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$．

點評 此題關鍵要掌握磁場中粒子由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，電路中正確運用閉合電路歐姆定律．在勻強電場中偏轉問題，求速度可以運用動能定理，也可以根據運動的合成和分解法求解．