Question

4．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球．經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L．若拋出時的初速增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為$\sqrt{3}$L．已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G．求：
（1）該星球表面的重力加速度g
（2）該星球的質量M．

Answer 1

分析 （1）運用平拋運動規律表示出拋出點與落地點之間的距離求解星球表面重力加速度．
（2）忽略星球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式求解天體質量．

解答 解：（1）設拋出點的高度為h，第一次平拋的水平射程為x，則有x²+h²=L²…①
由平拋運動規律得知，當初速增大到2倍，其水平射程也增大到2x，可得${（2x）^2}+{h^2}={（\sqrt{3}L）^2}$…②
由①、②解得：$h=\frac{L}{{\sqrt{3}}}$
設該星球上的重力加速度為g，根據豎直方向上的自由落體規律可知：
$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：$g=\frac{{2\sqrt{3}L}}{{3{t^2}}}$；
（2）由萬有引力定律提供重力可得：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
解得：$M=\frac{{2\sqrt{3}L{R^2}}}{{3G{t^2}}}$
答：（1）該星球表面的重力加速度g為$\frac{2\sqrt{3}L}{3{t}^{2}}$；
（2）該星球的質量M為$\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$．

點評 重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯系的物理量，同時注意明確萬有引力與重力之間的關系．