Question

8．圖甲為一理想變壓器，ab為原線圈的兩端點，cd為副線圈的兩端點，原線圈輸入正弦交變電壓的v-t圖象如圖乙所示，若在cd間接一只R=40ΩD電阻，電阻消耗的功率為P=20W，試求：
（1）在原線圈兩端輸入的交流電壓的瞬時值u_ab的表達式；
（2）ab和cd間線圈的匝數比$\frac{{n}_{ab}}{{n}_{cd}}$；
（3）將cd間電阻R拆去，改接上一只內阻r=10$\sqrt{2}$Ω的電動機，若除電動機的內阻外，不考慮其他因素帶來的能量損失，則該電動機的最大輸出功率為多大？

Answer 1

分析 （1）原線圈的輸入電壓的瞬時值的表達式可由圖知道輸入電壓的圓頻率和電壓的最大值即可；
（2）根據$P=\frac{{U}_{\;}^{2}}{R}$求出cd間電壓的有效值，根據原副線圈的電壓與匝數成正比即可求出ab和cd間線圈的匝數比$\frac{{n}_{ab}}{{n}_{cd}}$．
（3）在cd間接入電動機根據能量守恒輸入給電動機的功率等于電動機消耗的熱功率和電動機輸出功率之和，結合數學知識求解；

解答 解：（1）由圖象可知：電壓的最大值${U}_{m}^{\;}=200V$，周期T=0.01s
電壓的瞬時值表達式${u}_{ab}^{\;}=200sin\frac{2π}{0.01}tV$
解得：${u}_{ab}^{\;}=200sin200πtV$
（2）設cd間電壓的有效值為${U}_{cd}^{\;}$，電阻R的功率$P=\frac{{U}_{cd}^{2}}{R}$
解得：${U}_{cd}^{\;}=\sqrt{PR}=\sqrt{20×40}=20\sqrt{2}V$
ab間電壓的有效值${U}_{ab}^{\;}=\frac{200}{\sqrt{2}}=100\sqrt{2}V$
ab和cd間線圈的匝數比$\frac{{n}_{ab}^{\;}}{{n}_{cd}^{\;}}=\frac{{U}_{ab}^{\;}}{{U}_{cd}^{\;}}=\frac{100\sqrt{2}}{20\sqrt{2}}=\frac{5}{1}$
（3）在cd間接入電動機工作時，設副線圈的電流為I，電動機的輸出功率為P
${U}_{cd}^{\;}I={I}_{\;}^{2}r+P$
即$20\sqrt{2}I=10\sqrt{2}{I}_{\;}^{2}+P$
$P=20\sqrt{2}I-10\sqrt{2}{I}_{\;}^{2}$
解得I=1A時，輸出功率最大，${P}_{m}^{\;}=10\sqrt{2}W$
答：（1）在原線圈兩端輸入的交流電壓的瞬時值u_ab的表達式${u}_{ab}^{\;}=200sin200πt$（V）；
（2）ab和cd間線圈的匝數比$\frac{{n}_{ab}}{{n}_{cd}}$=$\frac{5}{1}$；
（3）將cd間電阻R拆去，改接上一只內阻r=10$\sqrt{2}$Ω的電動機，若除電動機的內阻外，不考慮其他因素帶來的能量損失，則該電動機的最大輸出功率為$10\sqrt{2}W$

點評 掌握原副線圈的電壓之比等于匝數比，知道電動機是非純電阻元件，根據能量守恒輸出功率等于總功率與熱功率之差，應用電功率公式即可正確解題．