Question

如圖所示，ABC為光滑軌道，其中AB段水平放置，BC段是半徑為R的圓弧，AB與BC相切于B點．A處有一豎直墻面，一輕彈簧的一端固定于墻上，另一端與一質量為M的物塊相連接，當彈簧牌原長狀態時，物塊恰能與固定在墻上的L形擋板相接觸于B處但無擠壓．現使一質量為m的小球從圓孤軌道上距水平軌道高h處的D點由靜止開始下滑，小球與物塊相碰后立即共速但不粘連，物塊與L形擋板相碰后速度立即減為零也不粘連．（整個過程中，彈簧沒有超過彈性限度，不計空氣阻力，重力加速度為g）
（1）試求彈簧獲得的最大彈性勢能．
（2）求小球與物塊第一次碰后沿BC上升的最大高h′．
（3）若R＞＞h，每次從小球接觸物塊至物塊撞擊L形擋板歷時均為△t，則小球由D點出發經多少時間第三次通過B點？

Answer 1

分析：（1）球從D下滑到B與物塊碰前，小球機械能守恒定律列式，碰撞過程，小球與滑塊系統動量守恒，根據動量守恒定律列式，碰后彈簧壓縮到最大程度的過程中，M、m和彈簧的系統機械能守恒，聯立方程即可求解；
（2）第一次碰后，小球返回B點的速度仍為v₁，從B向C滑動的最大高度為h′，根據機械能守恒即可求解；
（3）R當R＞＞h，小球在BC上的運動可等效為單擺，其周期為T=2π

R g

，進而求出小球第三次通過B點經過的時間．

解答：解：：（1）球從D下滑到B與物塊碰前，小球機械能守恒，有：
mgh=

1

2

m

v

2 0

碰撞過程，小球與滑塊系統動量守恒有：
mv₀=（m+M）v₁
碰后彈簧壓縮到最大程度的過程中，M、m和彈簧的系統機械能守恒：
E_p=

1

2

（m+M）

v

2 1

解得：E_p=

m2gh

M+m

（2）第一次碰后，小球返回B點的速度仍為v₁，從B向C滑動的最大高度為h′，
根據機械能守恒有：
mgh′=

1

2

m

v

2 1

解得：h′=

m2

(M+m)2

h
（3）R＞＞h，小球在BC上的運動可等效為單擺，
其周期為T=2π

R g

，
分析知小球第三次通過B點經過的時間為t=

3

4

T+△t=

3

2

π

R g

+△t．
答：（1）彈簧獲得的最大彈性勢能是E_p=

m2gh

M+m

．
（2）小球與物塊第一次碰后沿BC上升的最大高是=

m2

(M+m)2

h．
（3）若R＞＞h，每次從小球接觸物塊至物塊撞擊L形擋板歷時均為△t，則小球由D點出發經

3

2

π

R g

+△t時間第三次通過B點．

點評：本題主要考查了機械能守恒定律、動量守恒定律的直接應用，知道當R＞＞h，小球在BC上的運動可等效為單擺，難度適中．