Question

如圖所示，豎直面內固定的半徑為R的光滑半圓弧軌道，左、右端點P、Q圓心在同一水平線上，左端點P距地高

3R

2

，右端點Q正下方質量均為M的物體A、B通過一輕彈簧連接豎直放置處于靜止狀態，物體A上表面距Q端

R

2

，與物體B處于同一水平面且質量為m的小球C（可視為質點），從P端正下方以一定初速度豎直上拋，經半圓弧軌道后與物體A發生彈性碰撞，碰撞時間極短，碰撞后，小球C反彈恰能通過圓弧軌道最高點，物體A恰能到達Q端且物體B剛好不離開地面，重力加速度為g，不計空氣阻力，求：
（1）碰撞后，小球C恰能通過圓弧軌道最高點時的速度大小；
（2）質量的比值

m

M

；
（3）小球豎直上拋的初速度V₀．

Answer 1

分析：（1）小球C恰好能通過圓弧最高點，重力提供向心力，根據向心力公式即可求解；
（2）小球C反彈通過圓弧最高點過程中機械能守恒，物體A恰能到達Q端且B剛好不離開地面，重力勢能轉化為動能，彈性碰撞過程中動量和機械能守恒，根據機械能守恒定律及動量守恒定律列式即可求解；
（3）小球C豎直上拋至與物體A碰撞前的運動過程中機械能守恒，根據機械能守恒定律即可求解．

解答：解：（1）設小球C恰好能通過圓弧最高點時的速度為v，
則有mg=m

v2

R

解得：v=

gR

（2）設小球C與物體A碰撞前速度為v₁，碰后瞬間小球C的速度為v₁′，物體A的速度為v₂′
小球C反彈通過圓弧最高點過程中機械能守恒，

1

2

mv₁′²=

1

2

mv²+mg

3

2

R
解得：v₁′=2

gR

由于物體A恰能到達Q端且B剛好不離開地面，得：

1

2

Mv₂′²=Mg

R

2

解得：v₂′=

gR

以豎直向下為正方向，由彈性碰撞得：
mv₁=m（-v₁′）+Mv₂′

1

2

mv₁²=

1

2

mv₁′²+

1

2

Mv₂′²
聯立解得：v₁=3

gR

m

M

=

1

5

（3）小球C豎直上拋至與物體A碰撞前的運動過程中機械能守恒，則：

1

2

mv_C²=

1

2

mv₁²+mgR
解得：v_C=

11gR

答：（1）碰撞后，小球C恰能通過圓弧軌道最高點時的速度大小為

gR

；
（2）質量的比值

m

M

為

1

5

；
（3）小球豎直上拋的初速度為

11gR

．

點評：本題主要考查了動量守恒定律、機械能守恒定律、向心力公式的直接應用，要求同學們能正確分析物體的受力情況和運動情況，難度適中．