Question

物體做圓周運動時，所需的向心力F_需由運動情況決定，提供的向心力F_供由受力情況決定．若某時刻F_需=F_供，則物體能做圓周運動；若F_需＞F_供，物體將做離心運動；若F_需＜F_供，物體將做向心運動．現有一根長L=1m的不計伸長的輕繩，其一端固定于O點，另一端系著質量m=0.5kg的小球（可視為質點），將小球提至正上方的A 點處，此時繩剛好伸直且無張力，如圖所示．不計空氣阻力，g取10m/s²，則：
（1）為使小球能在豎直面內做完整的圓周運動，在A點至少應施加給小球多大的水平速度？
（2）若將小球以速度v₁=5m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為多大？
（3）若將小球以速度v₂=3m/s水平拋出的瞬間，繩中若有張力，求其大小？若無張力，試求從拋出小球到繩子再次伸直時所經歷的時間？

Answer 1

分析：（1）小球在豎直面內能夠做完整的圓周運動，在最高點時至少應該是重力作為所需要的向心力，由重力作為向心力可以求得最小的速度；
（2）根據第一問的判斷可以知道v₁＞V₀，故繩中有張力，由向心力的公式可以求得繩的拉力的大小；
（3）由于v₂＜V₀，故繩中沒有張力，小球將做平拋運動，根據平拋運動的規律可以求得運動的時間．

解答：解：（1）在最高點，當重力提供向心力時，速度最小，則有：mg=m

v02

L

解得：v0=

gL

=

10×1

=

10

m/s  
（2）因為v₁＞v₀，故繩中有張力
根據牛頓第二定律，有：T+mg=m

v12

L

代入數據解得，繩中張力為：T=0.5×

25

1

-5=7.5N    
（3）因為v₂＜v₀，故繩中無張力，小球將做平拋運動
如圖：L²=（y-L）²+x²
x=v₂t
y=

1

2

gt2…
解得：t=

2

g

gL-v22

=

2

10

10×1-9

=0.2s  
答：（1）為使小球能在豎直面內做完整的圓周運動，在A點至少應施加給小球多大的水平速度為

10

m/s；
（2）若將小球以速度v₁=5m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為7.5N；
（3）若將小球以速度v₂=3m/s水平拋出的瞬間，繩中無張力，從拋出小球到繩子再次伸直時所經歷的時間為0.2s．

點評：要使小球在豎直面內能夠做完整的圓周運動，在最高點時至少應該是重力作為所需要的向心力，這是本題中的一個臨界條件，與此時的物體的速度相對比，可以判斷物體能否做圓周運動，進而再根據不同的運動的規律來分析解決問題，本題能夠很好地考查學生的分析解決問題的能力，是道好題．