Question

（2006?宜昌模擬）如圖所示，光滑絕緣水平面的上方空間被豎直的分界面MN分隔成兩部分，左側空間存在一水平向右的勻強電場，場強大小 E₁=

mg

q

右側空間有一長為R=0.8m的絕緣輕繩，繩的一端固定于O點，另一端拴一個質(zhì)量m₂=m的不帶電的小球B在豎直平面內(nèi)做順時針方向的圓周運動，運動到最低點時速度大小v_B=8m/s，小球B在最低點時與地面接觸但沒有彈力．在MN左側空間中有一個質(zhì)量為m₁=m的帶正電的物體A，電荷量大小為q，在水平面上與MN界面水平間距為L處由靜止釋放，恰好與運動到最低點處的B發(fā)生正碰，并瞬間粘合成一個整體C，碰后瞬間在MN的右側空間立即加上一豎直向上的勻強電場，場強大小E₂=3E₁（g=10m/s²）
（1）如果L=0.2m，求出整體C運動到最高點時的瞬時速度大小，及此時繩的拉力是物體重力的多少倍？
（2）當L滿足什么條件時，整體C可以在豎直面內(nèi)做一個完整的圓周運動？

Answer 1

分析：（1）對物體A，根據(jù)動能定理求出A與B碰撞前的速度，碰撞過程，由動量守恒求出碰后的共同速度．對于共同體，從最低點到最高點的過程，根據(jù)動能定理求出到達最高點的速度大小，由牛頓第二定律求出繩子的拉力大小．
（2）對于整體C，所受的電場力qE₂=3mg，方向豎直向上，與總重力2mg的合力方向豎直向上，在最低點有最小速度．根據(jù)C順時針和逆時針轉動，根據(jù)動量守恒和能量守恒求出L．

解答：解：（1）物A與B碰前速度為v₀，有動能定理：
  qEL=

1

2

m

v

2 0

∴v₀=2 m/s
A、B作用動量守恒：mv_B-mv₀=2mv
∴v=3m/s，即C順時針轉動
C有最點→最高點速度為v₁，有動能定理：

1

2

?2m

v

2 1

-

1

2

?2mv2=（qE₂-2mg）?2R
∴v₁=5m/s
在最高點處：T+2mg-qE₂=2m

v 2 1

R

∴T=7.25 mg
（2）合成C后：
∵qE₂=3mg＞2mg，方向豎直向上
∴C的合力豎直向上，
即C在最低處有最小速度為v₂，則
qE₂-2mg=2m

v 2 2

R

解得，v₂=2m/s
令C順時針：mv_B-mv₀=2mv₂，
∴v₀=4m/s，
則根據(jù)qEL=

1

2

m

v

2 0

解得，L=0.8m
令C逆時針：mv₀-mv_B=2mv₂，
∴v₀=12m/s，
則根據(jù)qEL=

1

2

m

v

2 0

得L=7.2m
即L≤0.8m或L≥7.2m，整體C在豎直面內(nèi)做一個完整的圓周運動．
答：（1）如果L=0.2m，整體C運動到最高點時的瞬時速度大小是5m/s，此時繩的拉力是物體重力的7.25倍．
（2）當L滿足L≤0.8m或L≥7.2m時，整體C可以在豎直面內(nèi)做一個完整的圓周運動．

點評：本題是動能定理、向心力、動量守恒守恒定律的綜合應用，難點是分析整體C做完整圓周運動的條件．