Question

8．如圖所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變，當θ=30°時，可視為質點的小木塊恰好能沿著木板勻速下滑．若讓該小木塊從木板的底端以v₀的速度沿木板向上運動，隨著θ的改變，小木塊沿木板向上滑行的距離將發生變化．已知重力加速度為g．

（1）小木塊與木板間的動摩擦因數；
（2）當θ=60°角時，小木塊沿木板向上滑行的距離；
（3）當θ=60°角時，小木塊由底端沿木板向上滑行再回到原出發點所用的時間．

Answer 1

分析 （1）抓住小木塊做勻速直線運動，結合重力沿斜面向下的分力與摩擦力相等，求出動摩擦因數的大小．
（2）根據牛頓第二定律求出小木塊上滑的加速度大小，結合速度位移公式求出上滑的距離．
（3）根據速度時間公式求出上滑的時間，根據牛頓第二定律求出下滑的加速度，結合位移時間公式求出下滑的時間，從而得出總時間．

解答 解：（1）當θ=30°時，物塊受重力、支持力和滑動摩擦力處于平衡，有：mgsinθ=μF_N①
F_N=mgcosθ   ②
聯立①②得：$μ=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）當小木塊向上運動時，小木塊的加速度為a，則：mgsin θ+μmgcosθ=ma，
根據速度位移公式得，${{v}_{0}}^{2}=2ax$，
代入數據解得x=$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．
（3）當小木塊向上運動時，小木塊的加速度為a₁，則：mgsin θ+μmgcos θ=ma₁
則上滑的時間${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$，
代入數據解得${t}_{1}=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{2g}$，
當小木塊向下運動時，小木塊的加速度為a₂，則：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得：${a}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}g$，
根據x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$得，${t}_{2}=\frac{\sqrt{6}{v}_{0}}{2g}$．
則$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（\sqrt{3}+\sqrt{6}）{v}_{0}}{2g}$．
答：（1）小木塊與木板間的動摩擦因數為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）小木塊沿木板向上滑行的距離為$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．
（3）小木塊由底端沿木板向上滑行再回到原出發點所用的時間為$\frac{（\sqrt{3}+\sqrt{6}）{v}_{0}}{2g}$．

點評 本題考查了牛頓第二定律和運動學公式的綜合運用，知道加速度是聯系力學和運動學的橋，注意上滑的加速度和下滑的加速度不等．