Question

13．如圖，在學校運動會團體托球跑步比賽中，某同學將質量為m的球置于球拍的光面中心，從靜止開始先做加速度大小為a的勻加速直線運動，速度達到v₀后做勻速直線運動至終點．已知運動過程中球始終相對球拍靜止，且受到的空氣阻力大小為f=kv（k為已知常量），方向與速度方向相反．不計球與球拍間的摩擦，重力加速度為g，求：（結果可以用三角函數表示）
（1）在勻速直線運動階段球拍面與水平方向的夾角θ₀；
（2）在勻加速直線運動階段θ隨時間t的變化關系式．

Answer 1

分析 （1）對球受力分析，根據共點力平衡求出在勻速直線運動階段球拍面與水平方向的夾角θ₀；
（2）對球分析，抓住豎直方向上平衡，水平方向上有向右的合力，結合牛頓第二定律和速度時間公式得出在勻加速直線運動階段θ隨時間t的變化關系式．

解答 解：（1）對球受力分析，由平衡條件得：tanθ₀=$\frac{k{v}_{0}}{mg}$，
則在勻速直線運動階段球拍面與水平方向的夾角θ₀=arctan$\frac{k{v}_{0}}{mg}$．
（2）對球受力分析，豎直方向：Ncosθ=mg，
水平方向：Nsinθ-kv=ma       
v=at                
解得：tanθ=$\frac{a}{g}+\frac{ka}{mg}t$．
答：（1）在勻速直線運動階段球拍面與水平方向的夾角為arctan$\frac{k{v}_{0}}{mg}$．
（2）在勻加速直線運動階段θ隨時間t的變化關系式為tanθ=$\frac{a}{g}+\frac{ka}{mg}t$．

點評 本題考查了牛頓第二定律、共點力平衡和運動學公式的綜合運用，關鍵能夠正確地受力分析，知道勻加速直線運動時，豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力產生加速度．