Question

18．如圖所示，邊界OA與0C之間分布有垂直紙面向里的勻強磁場，邊界OA上有一粒子源S，0、S間的距離為a．某一時刻，從S平行于紙面向各個方向發射出大量帶正電的同種粒子（不計粒子重力及粒子間的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，經過一段時間有大量粒子從邊界OC射出磁場．已知∠AOC=60°粒子在該磁場中做圓周運動的周期為T，粒子在磁場中運動的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，則從邊界0C射出的粒子在磁場中運動的時間可能為（　　）

• A． $\frac{T}{3}$
• B． $\frac{T}{5}$
• C． $\frac{T}{7}$
• D． $\frac{T}{9}$

Answer 1

分析 本題已知帶電粒子在磁場中做完整的勻速圓周運動的周期和半徑，求它在特殊磁場中--三角形磁場中向各個方向發射粒子時的時間．時間問題當屬偏轉角越大，時間就越長，所以考慮最大偏轉角和最小偏轉角的情況即可．先用左手定則判斷粒子做圓周運動的方向--順時針方向做圓周運動，則沿SA方向入射時偏轉角最大；而偏轉角最小的情況弦長最小時，偏轉角最小，而最小的弦長是從S到OC的垂線段的長，由幾何關系找到此種情況偏轉角，也就求出了最短時間．

解答 解：如圖，過S點作OA的垂線交OC于P，由幾何關系知SP=OS×tan60°=$\sqrt{3}a$=2r，所以當粒子沿SA方向入射時其運動軌跡恰為半圓從P點射出磁場區域，且時間最長，${t}_{max}=\frac{1}{2}T$．要使運動的時間最短，根據$t=\frac{θ}{2π}T$，要求軌跡圓心角最小，軌跡的弦最短，即S到OC邊的距離最短，當SQ垂直于OC時最短，所以粒子從Q點離開磁場時間最短，如圖所示．由幾何關系：∠AOC=60°，所以∠QPS=30°，所以$SQ=\frac{1}{2}SP$，故軌跡圓心角θ=60°，所以運動時間$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{1}{6}T$，即${t}_{min}=\frac{1}{6}T$．綜上所述，粒子在該磁場區域內的時間范圍為$\frac{T}{6}--\frac{T}{2}$，所以選項AB正確，CD錯誤．
故選：AB

點評 本題的難點在于求最短的時間，當然最短時間對應著最短的弧長和弦長，從S到磁場邊界OC的最小的距離當屬垂線段的長，即圖中SQ．而由幾何關系知SQ=$\frac{1}{2}SP$=r，所以偏轉角等于60°，最短時間為$\frac{1}{6}T$；至于最長時間當屬沿SA方向射出的粒子所偏轉的角度所用的時間．