Question

8．如圖所示，質量為M=2kg，長度為L₁的長木板B靜止在光滑的水平面上，距木板右側L₀=0.5m處有一固定光滑半圓軌道，CD為其豎直直徑，半圓軌道在底端C處的切線與木板B的上表面在同一水平面上，水平傳送帶以恒定速率v=$\sqrt{5}$m/s順時針轉動，其上表面與半圓軌道在最高點處的切線也在同一水平面上．某時刻質量為m=1kg的小滑塊A（可視為質點）以大小為v₀=6m/s水平速度從長木板B的左端滑上木板，之后A、B向右運動．當長木板B與半圓軌道碰撞瞬間小滑塊A的速度為v₁=4m/s，并且此時小滑塊A恰好滑上半圓軌道，從A、B開始運動到滑上半圓軌道的過程中A、B的速度-時間圖象如圖乙所示．已知小滑塊恰好能通過半圓軌道最高點D，最后滑道傳送帶左端P時速度剛好減為零，已知小滑塊與水平傳送帶間的動摩擦因數μ=0.1，g=10m/s²．求：
（1）B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小和木板B長度L₁；
（2）豎直半圓軌道的半徑R；
（3）小滑塊從開始運動到到達P處的過程中因摩擦而產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）A在長木板B上向右滑動的過程，根據圖象的斜率求出滑塊A的加速度大小，由牛頓第二定律求小滑塊與長木板間摩擦因數．再對A和系統，分別運用動能定理列式，求解B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小和木板B長度L₁；
（2）對A從C到D的過程，運用動能定理列式，再結合在D點，重力等于向心力列式，聯立可求得圓軌道的半徑R．
（3）求出A在B相對滑動的位移，求出摩擦生熱．分析A在傳送帶的運動過程，由運動學公式求D到P的運動時間，即可求得A與傳送帶間的相對位移的大小，從而求得熱量Q．

解答 解：（1）由圖象得小滑塊在木板上做勻減速時的加速度大小為：a₁=$\frac{6-4}{1}$=2m/s²；
設小滑塊與長木板間摩擦因數為μ₁，由μ₁mg=ma₁，解得：μ₁=0.2
設碰撞瞬間木板B的速度大小為v_B，對B，由動能定理得：
μ₁mgL₀=$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=1m/s
對長木板和小滑塊構成的系統，由能量守恒得：
μ₁mgL₁=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$
解得 木板B的長度為：L₁=4.5m
（2）小滑塊恰好過D點速度大小為v_D，則有：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由C到D機械能守恒定律知：
mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
聯立解得：R=0.32m，v_D=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s
（3）設傳送帶兩轉軸之間的距離為L₂，小滑塊滑上傳送帶做勻減速運動，加速度大小為：
  a₂=μg=1m/s²；
由${v}_{D}^{2}$=2a₂L₂，代入數據解得：L₂=1.6m
小滑塊在B上滑動時因摩擦而產生的熱量為：Q₁=9J
小滑塊相對傳送帶滑行的距離為：s=L₂+v•$\frac{{L}_{2}}{\frac{{v}_{D}}{2}}$=5.6m
產生的熱量為：Q₂=μmgs=0.1×1×10×5.6J=5.6J
故整個過程中因摩擦產生的熱量為：Q=Q₁+Q₂=14.6J
答：（1）B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小是1m/s，木板B長度L₁是4.5m．
（2）豎直半圓軌道的半徑R是0.32m；
（3）小滑塊從開始運動到到達P處的過程中因摩擦而產生的熱量Q是14.6J．

點評 本題關鍵是分析清楚滑塊A的運動過程，抓住每個過程和各個狀態的特點和物理規律，要注意摩擦產生的熱量要根據相對位移求解．