Question

19．如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小于R），小球a、b大小相同，質量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（　　）

• A． 當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5 mg
• B． 當v=$\sqrt{5gR}$時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力
• C． 速度v至少為$\sqrt{5gR}$，才能使兩球在管內做圓周運動
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力都大6 mg

Answer 1

分析 要使小球能通過最高點，只要小球的速度大于零即可，而當向心力等于重力時，小球對軌道沒有壓力，由向心力公式可得小球在最高點時的速度，再由機械能守恒得小球在最低點的速度，以及最低點時所需要的向心力，即可求得最低點和最高點處的壓力之差．

解答 解：依題意知，當小球a在最低點時，小球b在最高點，小球b在最高點對軌道無壓力時，重力提供向心力即F_b=mg，由向心力公式$mg=\frac{{{mv}_{b}}^{2}}{R}$，解之得，${v}_{b}=\sqrt{gR}$，當小球a在最低點時，小球b在最高點，根據機械能守恒可知，$mg•2R+\frac{1}{2}{{mv}_{b}}^{2}=\frac{1}{2}{{mv}_{a}}^{2}$，解之得${v}_{a}=\sqrt{5gR}$．
A、根據以上計算知，當小球b在最高點對軌道無壓力時，重力提供向心力，則F_b=mg，a球在最低點有${F}_{b}=\frac{{{mv}_{a}}^{2}}{R}=5mg$，所以小球a比小球b所需向心力大△F=F_a-F_b=4mg，故A錯誤；
B、根據以上計算當v=$\sqrt{5gR}$時，小球b在軌道最高點恰好重力提供向心力，小球b對軌道無壓力，故B正確；
C、只要小球在最高點時的速度大于零，小球即可通過最高點，根據機械能守恒知，$mg•2R=\frac{1}{2}{mv}^{2}$，解之得，$v=2\sqrt{gR}$，所以速度v至少為$2\sqrt{gR}$，才能使兩球在管內做圓周運動，故C錯誤；
D、當v≥$\sqrt{5gR}$時，管道的外壁對小球有彈力，在最高點${F}_{1}=\frac{{{mv}_{1}}^{2}}{R}-mg$，在最低點${F}_{2}=\frac{{{mv}_{2}}^{2}}{R}-mg$，由機械能守恒知$mg•2R+\frac{{{mv}_{1}}^{2}}{R}=\frac{{{mv}_{2}}^{2}}{R}$，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大：△F=F₂-F₁，以上各式聯立解得，△F=6mg，即只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力都大6 mg．故D正確．
故選：BD．

點評 小球在豎直面內的圓周運動，若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時，小球才能通過；而用桿或在管內運動的小球，只要在最高點時的速度大于零，小球即可通過最高點．