Question

1．物體在萬有引力場中具有的勢能叫做引力勢能．若取兩物體相距無窮遠時的引力勢能為零，一個質量為m的質點距質量M的引力源中心為r時，其引力勢能E_p=-$\frac{GMm}{r}$（式中G為引力常數）．一顆質量為m的人造地球衛星以圓形軌道環繞地球飛行，已知地球的質量為M，由于受高空稀薄空氣的阻力作用，衛星的圓軌道半徑從r₁逐漸減小到r₂，則在這個過程中空氣阻力做功W_f=$\frac{GMm}{2{r}_{1}}$-$\frac{GMm}{2{r}_{2}}$．

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力求出衛星在半徑為r₁圓形軌道運動的速度，從而知道動能，通過引力勢能公式求出在軌道r₁上的機械能，同理可以求出衛星在軌道r₂上的機械能，衛星的圓軌道半徑從r₁逐漸減小到r₂．在這個過程中空氣阻力做功W_f等于衛星機械能的變化量．

解答 解：衛星在圓軌道半徑r₁上運行時，根據萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
得 v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$
所以衛星的動能為 E_k1=$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{GMm}{2{r}_{1}}$．
衛星的總機械能：E₁=E_k1+E_p1=$\frac{GMm}{2{r}_{1}}$-$\frac{GMm}{{r}_{1}}$=-$\frac{GMm}{2{r}_{1}}$．
同理：衛星的圓軌道半徑從r₂上時，動能為 E_k2=$\frac{GMm}{2{r}_{2}}$
衛星的總機械能：E₂=-$\frac{GMm}{2{r}_{2}}$
衛星的圓軌道半徑從r₁逐漸減小到r₂．在這個過程中空氣阻力做功W_f等于衛星機械能的變化量，則有：W_f=E₂-E₁=$\frac{GMm}{2{r}_{1}}$-$\frac{GMm}{2{r}_{2}}$．
故答案為：$\frac{GMm}{2{r}_{1}}$-$\frac{GMm}{2{r}_{2}}$．

點評 解決本題的關鍵得出衛星動能和勢能的和即機械能的變化量，從而空氣阻力做功為W_f等于衛星機械能的變化量這個功能關系計算．