Question

如圖，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對(duì)放置，s₁、s₂分別為M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三點(diǎn)共線且水平，且s₂O=R．以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在大小為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．收集板D上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離以及板兩端點(diǎn)的距離都為2R，板兩端點(diǎn)的連線垂直M、N板．質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，經(jīng)s₁無初速進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)后，通過s₂進(jìn)入磁場(chǎng)．粒子重力不計(jì)．
（1）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，求M、N間的電壓值U；
（2）求粒子從s₁到打在D的最右端經(jīng)歷的時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做功引起動(dòng)能變化，由動(dòng)能定理求得加速獲得的速度；粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌跡半徑．當(dāng)粒子打在收集板D的中點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r₀=R，即可求出M、N間所加的電壓；
（2）粒子從s₁開始運(yùn)動(dòng)到打在D的中點(diǎn)上經(jīng)歷的時(shí)間分三段：加速電場(chǎng)中，由運(yùn)動(dòng)學(xué)平均速度法求出時(shí)間；磁場(chǎng)中根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系求解時(shí)間；射出磁場(chǎng)后粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由速度公式求解時(shí)間，再求解總時(shí)間．

解答：解：（1）粒子從s₁到達(dá)s₂的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：qU=

1

2

mυ2…①
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有qυB=m

υ2

r

…②
當(dāng)粒子打在收集板D的中點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r₀=R 
解得：U=

qB2R2

2m

（2）根據(jù)幾何關(guān)系可以求得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑
r=

(2R)2-R2

=

3

R 
由 ②得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小υ=

qBr

m

粒子在電場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間t1=

R

υ 2

=

2 3 m

3qB

粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間
t2=

3 R? π 3

υ

=

πm

3qB

粒子出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間
t3=

R

υ

=

3 m

3qB

粒子從s₁到打在收集板D上經(jīng)歷的最短時(shí)間為
t=t₁+t₂+t₃=

(3 3 +π)m

3qB

答：
（1）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，M、N間的電壓值U為

qB2R2

2m

；
（2）粒子從s₁到打在D的最右端經(jīng)歷的時(shí)間t為

(3 3+π )m

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子先經(jīng)電場(chǎng)加速，后經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的問題，關(guān)鍵是根據(jù)幾何知識(shí)分析粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的半徑與磁場(chǎng)半徑的關(guān)系．