Question

7．如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37°，CD、EF軌道水平，AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓軌道相切于最低點D，E點與圓心O在同一水平線上，F點為圓軌道的最高點．一小球從A點由靜止釋放，恰能從D點的小孔進入圓軌道，沿軌道內壁運動，已知AB長為S_AB=5m，CD長為S_CD=4m，圓弧管道BC的入口B與出口C的高度差為h=3m，小球與斜軌AB間的動摩擦因數μ₁=0.5，與水平軌道CD間的動摩擦因數為μ₂=0.55，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求小球滑到水平軌道上D點時的速率v_D；
（2）要使小球在圓軌道中運動時不脫離軌道，求圓軌道的半徑R應滿足的條件；
（3）若圓軌道的半徑R=1.2m，求小球沿圓軌道向上做圓周運動時的最小速度v．

Answer 1

分析 （1）對球從A運動至D過程運用動能定理列式求解即可；
（2）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：情況一：小球能滑過圓周軌道最高點，進入EF軌道．情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的點時，速度減為零，然后滑回D．由動能定理列出等式求解．
（3）當R=1.2m時，球恰好運動到F點，重力等于向心力，根據牛頓第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）設小球到達D點時速度為v，球從A運動至D過程，由動能定理有：
$mgsin37°•{S}_{AB}+mgh-{μ}_{1}mgcos37°•{S}_{AB}-{μ}_{2}mg{S}_{CD}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$ 
可得：
${v}_{1}=\sqrt{2g（sin37°•{S}_{AB}+h-{μ}_{1}cos37°•{S}_{AB}-{μ}_{2}{S}_{CD}）}$ 
=$\sqrt{2×10×（0.6×5+3-0.5×0.8×5-0.55×4）}m/s$ 
=6m/s
（2）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：
情況一：小球能滑過圓周軌道最高點，進入EF軌道．則小球在最高點F應滿足：
$m\frac{v_F^2}{R}≥mg$
小球從C直到F點過程，由動能定理，有：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
可得：
R≤1.2m
情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的E點時，速度減為零，然后滑回D．則由動能定理有：
$-mg•R=0-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：R≥1.8m
（3）結合第二問的討論，當R=1.2m時，球恰好運動到F點，重力等于向心力，故：
mg=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：
${v}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×1.2}m/s=2\sqrt{3}m/s$
答：（1）小球滑到水平軌道上D點時的速率v_D為6m/s；
（2）要使小球在圓軌道中運動時不脫離軌道，圓軌道的半徑R滿足的條件為：R≥1.8m或者R≤1.2m；
（3）若圓軌道的半徑R=1.2m，小球沿圓軌道向上做圓周運動時的最小速度v為2$\sqrt{3}$m/s．

點評 本題考查動能定理及能量守恒等的應用；此題要求熟練掌握動能定理、能量守恒定律、圓周運動等規律，包含知識點多，難度較大，屬于難題．