Question

一條寬為L的河，水流速度為v₁，船在靜水中的速度為v₂，那么：

（1）怎樣渡河時間最短？最短時間是多少？

（2）若v₁＜v₂，怎樣渡河位移最小？

（3）若v₁＞v₂，怎樣渡河船漂下的距離最短？

Answer 1

答案：（1）如圖4-1-6甲所示，設船頭斜向上游與河岸成θ角，這時船速在y方向的速度分量為v_y=v₂sinθ，渡河所需時間為：t=

    可以看出：在L、v₂一定時，t隨sinθ的增大而減小；當θ=90°時，sinθ=1（最大），所以，船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，且為：t_min=

 

圖4-1-6

（2）如圖4-1-6乙所示，渡河的最小位移為河的寬度，為了使船渡河的位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即使沿河岸方向的分量v_x=0.這時船頭應指向河的上游，并與岸成一定的角度θ，則有：cosθ=

    所以θ=arccos()

    因為0≤cosθ≤1，所以只有在v₁＜v₂時，船才有可能垂直河岸渡河.

（3）如果水流速度v₁大于船在靜水中的速度v₂時，則不論船方向如何，總被水流沖向下游.怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖4-1-6丙所示，設船頭（v₂）與河岸成θ角，合速度v與河岸成α角.可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短.那么，在什么條件下α角最大呢？以v₁的矢尖為圓心，以v₂的大小為半徑畫圓，當v與圓相切時，α角最大.根據cosθ=，所以船頭與河岸的夾角應為：θ=arccos().