Question

20．在豎直平面內固定一軌道ABCO，AB段水平放置，長為4m，BCO段彎曲且光滑；一質量為1.0kg、可視作質點的圓環套在軌道上，圓環與軌道AB段之間的動摩擦因數為0.5．建立如圖所示的直角坐標系，圓環在沿x軸正方向的恒力F作用下，從A（-7，2）點由靜止開始運動，到達原點O時撤去恒力F，圓環從O（0，0）點水平飛出后經過D（6，3）點．重力加速度g取10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）圓環到達O點時的速度大小及軌道對圓環彈力大小；
（2）恒力F的大小；
（3）圓環在AB段運動的時間．

Answer 1

分析 （1）圓環從O到D做平拋運動，根據高度和水平位移，由平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律求出平拋運動的初速度，即圓環到達O點時的速度大小．
在O點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求軌道對圓環的彈力．
（2）對A到O過程，運用動能定理，求出恒力F的大小．
（3）根據牛頓第二定律，結合運動學公式求出圓環在AB段的運動時間．

解答 解：（1）圓環從O到D過程中做平拋運動，有
  x=v₀t
  y=$\frac{1}{2}$gt²
讀圖得 x=6 m，y=3 m
代入上式解得 v₀=2$\sqrt{15}$m/s
在O點，以圓環為研究對象，由牛頓第二定律得
   mg+N=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得 N=30N
（2）圓環從A到O過程中，根據動能定理得
   Fx_AO-μmgx_AB-mgy′=$\frac{1}{2}$mv₀²
代入數據得 F=10N
（3）圓環從A到B過程中，根據牛頓第二定律得
   F-μmg=ma
由運動學公式有 x_AB=$\frac{1}{2}$at²
代入數據得  t=$\sqrt{\frac{8}{5}}$s≈1.26s
答：
（1）圓環到達O點時的速度大小是2$\sqrt{15}$m/s，軌道對圓環彈力大小是30N；
（2）恒力F的大小是10N；
（3）圓環在AB段運動的時間是1.26s．

點評 解決本題的關鍵理清圓環在整個過程中的運動規律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律．