Question

14．近幾年來，我國生產的“蛟龍”號下潛突破7000m大關，我國的北斗導航系統也進入緊密的組網階段，已知質量分布均勻的球殼對殼內任一質點的萬有引力為零，將地球看做半徑為R、質量分布均勻的球體．北斗導航系統中的一顆衛星的軌道距離地面的高度為h，“蛟龍”號下潛的深度為d，則該衛星所在處的重力加速度與“蛟龍”號所在處的重力加速度的大小之比為（　　）

• A． $\frac{（R-d）（R+h）}{{R}^{2}}$
• B． $\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{2}（R-d）}$
• C． $\frac{R-d}{R+h}$
• D． （$\frac{R-d}{R+h}$）²

Answer 1

分析 根據題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產生的加速度，深度為d的地球內部的重力加速度相當于半徑為R-d的球體在其表面產生的重力加速度，根據地球質量分布均勻得到加速度的表達式，再根據半徑關系求解深度為d處的重力加速度與地面重力加速度的比值．衛星繞地球做圓周運動時，運用萬有引力提供向心力可以解出高度為h處的加速度，再求其比值

解答 解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的質量為：$M=\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ$，
所以重力加速度的表達式可寫成：$g=\frac{4}{3}πGρR$．
根據題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，固在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產生的萬有引力，故井底的重力加速度為：$g′=\frac{4}{3}πGρ（R-d）$，
所以有：$\frac{g′}{g}=\frac{R-d}{R}$．
根據萬有引力提供向心力為：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=ma$，
“天宮一號”的加速度為：$a=\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，
所以有：$\frac{a}{g}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，
得：$\frac{a}{g′}=\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{2}（R-d）}$，故B正確
故選：B

點評 抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在地球內部，地球的重力和萬有引力相等，要注意在地球內部距離地面d處所謂的地球的質量不是整個地球的質量而是半徑為（R-d）的球體的質量m