Question

有一探測衛星在地球赤道正上方繞地球做勻速圓周運動，已知地球質量為M，地球半徑為R，萬有引力常量為G，探測衛星繞地球運動的周期為T．求：
（1）探測衛星繞地球做勻速圓周運動時的軌道半徑；
（2）探測衛星繞地球做勻速圓周運動時的速度大小；
（3）在距地球表面高度恰好等于地球半徑時，探測衛星上的觀測儀器某一時刻能觀測到的地球表面赤道的最大弧長．（此探測器觀測不受日照影響，不考慮空氣對光的折射）

Answer 1

分析：（1）探測衛星繞地球做勻速圓周運動時，由地球的萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律和牛頓運動定律列式求解；
（2）探測衛星繞地球做勻速圓周運動時速度大小可由圓周運動的公式v=

2πr

T

求解；
（3）作出觀測到赤道上的弧長的圖形，根據幾何關系求解．

解答：解：（1）設衛星質量為m，衛星繞地球運動的軌道半徑為r，根據萬有引力定律和牛頓運動定律得：
  G

Mm

r2

=m

4π2r

T2

解得 r=

3	GMT2 4π2

（2）設衛星繞地球做勻速圓周運動時的速度大小為v，則v=

2πr

T

=

3	2πGM T

（3）設宇宙飛船在地球赤道上方A點處，距離地球中心為2R，飛船上的觀測儀器能觀測到地球赤道上的B點和C點，能觀測到赤道上的弧長是L_BC，如圖所示，
  cosα=

R

2R

=

1

2

，則：α=60°
能觀測到地球表面赤道的最大長度L_BC=

2πR

3

答：
（1）探測衛星繞地球做勻速圓周運動時的軌道半徑為

3	GMT2 4π2

；
（2）探測衛星繞地球做勻速圓周運動時的速度大小為

3	2πGM T

；
（3）能觀測到地球表面赤道的最大長度為

2πR

3

．

點評：探測衛星繞地球做勻速圓周運動，關鍵是萬有引力提供向心力列出等式求解．