Question

10．如圖所示，一個半徑為R=3m的$\frac{1}{4}$圓周的軌道，O點為圓心，B為軌道上的一點，OB與水平方向的夾角為37°．軌道的左側與一固定平臺相連，在平臺上一輕質彈簧左端與豎直擋板相連，彈簧原長時右端在A點．現用一質量為m=1kg的小滑塊（與彈簧不連接，可視為質點）壓縮彈簧至P點后釋放，P與平臺右端O點的距離l=2.4m，滑塊與平臺之間的動摩擦因數μ=0.25．已知重力加速度為g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計空氣阻力．
（1）若小球恰能擊中B點，求剛釋放滑塊時彈簧的彈性勢能；
（2）若更換滑塊的質量，使滑塊仍從P點由靜止釋放，滑塊的質量不同時，其擊中圓周軌道時的速率也不同，求滑塊的質量多大時，滑塊擊中圓周軌道時速率最�。ɑ瑝K與平臺之間的動摩擦因數保持不變）．

Answer 1

分析 （1）小球離開平臺后做平拋運動，應用平拋運動規律求出小球做平拋運動的初速度，然后由能量守恒定律求出彈簧的機械能．
（2）滑塊離開平臺后做平拋運動，應用平拋運動規律求出滑塊的最小速度，然后應用動能定理求出滑塊的質量．

解答 解：（1）小球離開O點做平拋運動，
水平方向：Rcos37°=v₀t，
豎直方向：Rsin37°=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{8}{15}gR}$=4m/s，
從P到O過程，由能量守恒定律得：
E_P=μmgl+$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：E_P=14J；
（2）設小球擊中軌道時的點與O點的連線與豎直方向夾角為θ，小球離開平臺后做平拋運動，
水平方向：Rsinθ=v₀t，
豎直方向：Rcosθ=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：t=$\frac{2{v}_{0}cotθ}{g}$，v₀=sinθ$\sqrt{\frac{gR}{2cosθ}}$，
豎直分速度：v_y=gt=$\sqrt{2gRcosθ}$，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{gRsi{n}^{2}θ}{2cosθ}+2gRcosθ}$=$\sqrt{\frac{gR（1-co{s}^{2}θ）}{2cosθ}+2gRcosθ}$=$\sqrt{\frac{gR}{2cosθ}+\frac{3gRcosθ}{2}}$≥$\sqrt{2\sqrt{\frac{gR}{2cosθ}×\frac{3gRcosθ}{2}}}$=$\sqrt{\sqrt{3}gR}$，
當$\frac{gR}{2cosθ}$=$\frac{3gRcosθ}{2}$，即cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時速度v最小，此時：sinθ$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
此時：Rcosθ=$\frac{1}{2}$gt²，
時間：t=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}R}{3g}}$，v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{3}}$，
由動能定理得：E_P-μm′gl=$\frac{1}{2}$m′v₀²-0，
解得：m′=$\frac{14}{6+5\sqrt{3}}$kg≈0.95kg；
答：（1）若小球恰能擊中B點，剛釋放滑塊時彈簧的彈性勢能為4J；
（2）滑塊的質量為0.95kg時，滑塊擊中圓周軌道時速率最小．

點評 本題考查了動能定理的應用、平拋運動規律的應用，本題考查了求極值問題，增加了題目的難度，分析清楚物體的運動過程、應用平拋運動規律與動能定理可以解題．