Question

15．如圖所示，將一半徑為R的細圓管截去$\frac{1}{4}$后豎直放置，讓一光滑小球在A管口的正上方由靜止釋放．
（1）讓小球從B管口出來后能剛好落到A管口，則小球需從離A多高的地方釋放？
（2）小球在最高點B時受到管對它的作用力是多大？方向向哪？

Answer 1

分析 （1）小球從B點飛出后做平拋運動，由平拋運動的規律可以求得小球經過在B點的速度，再由機械能守恒定律可以求得釋放點距A點的高度h．
（2）在B點，由合力提供向心力，由牛頓定律求小球對管道的作用力．

解答 解：（1）從靜止釋放到到達B點的過程中，機械能守恒，設小球在B點獲得速度v_B，設小球是從離A點H高處開始釋放的．
以A點為零勢面，則由機械能守恒定律有：$mgH=mgR+\frac{1}{2}mv_B^2$
小球由B點平拋到A點，有：
水平方向 R=v_B t
豎直方向 R=$\frac{1}{2}$gt²；
由以上三方程可解得：H=$\frac{5}{4}$R．
（2）由上得，小球在B點的速度為：v_B=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$＜$\sqrt{gR}$
說明小球在最高點時受到管道對它向上的支持力，由牛頓第二定律得：
mg-N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：N=$\frac{1}{2}$mg
由牛頓第三定律知，小球在最高點B時受到管對它的作用力大小 N′=N=$\frac{1}{2}$mg，方向豎直向下．
答：（1）讓小球從B管口出來后能剛好落到A管口，則小球需從離A$\frac{5}{4}$R高的地方釋放．
（2）小球在最高點B時受到管對它的作用力$\frac{1}{2}$mg，方向豎直向下．

點評 在做題時一定要理解題目中“剛好落到A管口”這句話的含義，掌握平拋運動的規律，運用機械能守恒定律研究高度是常用的方法．