Question

10．如圖為某生產流水線工作原理示意圖．足夠長的工作平臺上有一小孔A，一定長度的操作板（厚度可忽略不計）靜止于小孔的左側，某時刻開始，零件（可視為質點）無初速地放上操作板的中點，同時操作板在電動機帶動下向右做勻加速直線運動，直至運動到A孔的右側（忽略小孔對操作板運動的影響），最終零件運動到A孔時速度恰好為零，并由A孔下落進入下一道工序．已知零件與操作板間的動摩擦因數μ₁=0.05，與工作臺間的動摩擦因數μ₂=0.025，操作板與工作臺間的摩擦因數μ₃=0.3．求：
（1）操作板做勻加速直線運動的加速度a的大小為多少？
（2）若操作板長L=2m，質量M=3kg，零件的質量m=0.5kg，重力加速度g=10m/s²．則操作板從A孔左側完全運動到右側的過程中，電動機至少做多少功？

Answer 1

分析 （1）零件的運動過程：先隨操作板向右做加速運動，此過程歷經時間為t，向右運動距離x時與操作板分離，此后零件在工作臺上做勻減速運動直到A孔處速度減為零．對零件進行受力分析，使用牛頓運動定律求得加速度；
（2）結合（1）求出的加速度，使用動能定律與能量的轉化與守恒求得電動機做功．

解答 解：（1）設零件向右運動距離x時與操作板分離，此過程歷經時間為t，此后零件在工作臺上做勻減速運動直到A孔處速度減為零，設零件質量為m，操作板長為L，取水平向右為正方向，對零件，有：
分離前：μ₁mg=ma₁，
分離后：-μ₂mg=ma₂
$x=\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$
以后做勻減速運動的位移為：$\frac{L}{2}-x=\frac{{0-{{（{a_1}t）}^2}}}{{2{a_2}}}$
對操作板，有：$\frac{L}{2}+x=\frac{1}{2}a{t^2}$
聯立以上各式解得：$a=\frac{{（2{μ_1}{μ_2}+μ_1^2）g}}{μ_2}$，
代入數據得：a=2m/s²；
（2）將a=2m/s²，L=2m代入$\frac{L}{2}+\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=\frac{1}{2}a{t^2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{L}{{a-{a_1}}}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}s$
操作板從A孔左側完全運動到右側的過程中，動能的增加量為：$△{E_{k1}}=\frac{1}{2}M{（\sqrt{2aL}）^2}=12J$
零件在時間t內動能的增加量為：$△{E_{k2}}=\frac{1}{2}m{（{μ_1}gt）^2}=\frac{1}{12}J$
零件在時間t內與操作板摩擦產生的內能為：${Q_1}={μ_1}mg×\frac{L}{2}=0.25J$
根據能量守恒定律，電動機做功至少為：$W={E_{k1}}+{E_{k2}}+{Q_1}=12\frac{1}{3}J≈12.33J$
答：（1）操作板做勻加速直線運動的加速度大小是2m/s²；
（2）若操作板長L=2m，質量M=3kg，零件的質量m=0.5kg，則操作板從A孔左側完全運動到右側的過程中，電動機至少做功12.33J．

點評 該題中，對零件的運動過程的方向就解題的關鍵．要緊扣題目給出的條件：最終零件運動到A孔時速度恰好為零！得出零件的正確的運動過程．