Question

5．甲乙兩車同時由A向B運動，甲以3m/s速度勻速運動，乙做初速度為0，加速度為3m/s²的勻加變速運動，當速度達到某一值后又做加速度為-2m/s²的勻減速運動，當乙速度減到0時，兩車恰好同時到達B，求：
①在運動過程（不包括AB兩點）中，兩車何時相距最近？
②何時相距最遠，最遠距離多少？

Answer 1

分析 （1）由于甲乙同時到達B點，設乙的最大速度為v_m，根據位移關系求得乙的最大速度，根據加速和減速的速度時間公式求得時間，利用位移時間公式求得何時相距最近
（2）速度相等時，兩者相距最近，速度相等時刻有兩個，分別計算出速度相等的時刻，利用位移時間公式判斷出何時相距最遠

解答 解：（1）設乙車加速到達的最大速度為v_m
乙車先做加速后做減速，通過的位移為${x}_{乙}=\frac{{v}_{m}}{2}t$
甲車通過的位移為x_甲=v_甲t
由于x_乙=x_甲
聯立解得v_m=6m
乙加速的時間${t}_{1}=\frac{{v}_{m}}{{a}_{1}}=\frac{6}{3}s=2s$
減速的時間${t}_{2}=\frac{{v}_{m}}{{a}_{2}}=\frac{6}{2}s=3s$
當兩車相遇時，相距最近，設在乙車加速階段故${v}_{甲}t′=\frac{1}{2}{a}_{1}t{′}^{2}$
解得t′=2s
（2）當兩者速度相等時，兩者相距最遠，在乙加速階段故v_甲=a₁t′，解得t′=1s，在1s內甲前進為位移為x_甲=v_甲t′=3m
乙前進的位移為$x{′}_{乙}=\frac{1}{2}{a}_{1}t{′}^{2}=1.5m$
此時相距△x=x_甲-x_乙=1.5m
在乙減速階段速度相等所需時間為t″，則v_甲=v_m-a₂（t″-t₁），解得t″=3.5s
在3.5s內甲前進的位移為x″_甲=v_甲t″=10.5s
乙前進的位移為$x{″}_{乙}=\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}+{v}_{m}（t″-{t}_{1}）-\frac{1}{2}{a}_{2}（t″-{t}_{1}）^{2}$=12.75m
故此時相距最大距離為△x′=x″_乙-x″_甲=12.75-10.5m=2.25m
答：①在運動過程（不包括AB兩點）中，兩車在2s時相距最近
②3.5s時相距最遠，最遠距離為2.25m

點評 本題主要考查了追擊相遇問題，明確速度相等時，相距最遠，但需要明確速度相等的時間點有兩個，即可逐個判斷