Question

如圖(1)所示，半徑為R、圓心為O的大圓環固定在豎直平面內，兩個輕質小圓環套在大圓環上，一根輕質長繩穿過兩個小圓環，它的兩端都系上質量為m的重物，忽略小圓環的大小．

(1)

(1)將兩個小圓環固定在大圓環豎直對稱軸的兩側θ=30°的位置上(如圖(2))．在兩個小圓環間繩子的中點C處，掛上一個質量的重物，使兩個小圓環間的繩子水平，然后無初速度釋放重物M．設繩子與大、小圓環的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離．

(2)

(2)若不掛重物M，小圓環可以在大圓環上自由移動，且繩子與大、小圓環間及大、小圓環之間的摩擦力均可以忽略，問兩個小圓環分別在哪些位置時，系統可處于平衡狀態．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)(2)見上 (1)重物向下先做加速運動，后做減速運動，當重物速度為零時，下降的距離最大．設下降的最大距離為h，由機械能守恒定律得 解得(另解h=0舍去) (2)系統處于平衡狀態時，兩小環的可能位置為： a．兩小環同時位于大圓環的頂端． b．兩小環同時位于大圓環的底端． c．兩小環一個位于大圓環的頂端，另一個位于大圓環的底端． d．除上述三種情況外，根據對稱性可知，系統如能平衡，則兩小圓環的位置一定關于大圓環豎直對稱軸對稱．設平衡時，兩小圓環在圓環豎直對稱軸兩側a角的位置上(如圖(2)所示)． 對于重物m，受繩子拉力T與重力mg作用，有T=mg 對于小圓環，受到三個力的作用，水平繩子的拉力T、豎直繩子的拉力T、大圓環的支持力N．兩繩子的拉力沿大圓環切向的分力大小相等，方向相反，有 得，而，所以．