Question

如圖甲所示，豎直面MN的左側空間存在豎直向上的勻強電場(上、下及左側無邊界)．一個質量為m、電荷量為q的可視為質點的帶正電的小球，以大小為v₀的速度垂直于豎直面MN向右做直線運動．小球在t＝0時刻通過電場中的P點，為使小球能在以后的運動中豎直向下通過D點(P、D間距為L，且它們的連線垂直于豎直平面MN，D到豎直面MN的距離DQ等于L/π)，經過研究，可以在電場所在的空間疊加如圖乙所示的隨時間周期性變化的、垂直于紙面向里的磁場．(g＝10m/s²)，求：

(1)場強E的大小；

(2)如果磁感應強度B₀為已知量，試推出滿足條件t₁的表達式；

(3)進一步的研究表明，豎直向下的通過D點的小球將做周期性運動．則當小球運動的周期最大時，求出磁感應強度B₀及運動的最大周期T的大小，并在圖中定性地畫出小球運動一個周期的軌跡．(只需要畫出一種可能的情況)

Answer 1

(1)mg/q　(2)＋　(3)　　軌跡見解析圖乙

解析:

(1)小球進入電場，做勻速直線運動時

Eq＝mg，①

E＝mg/q.②

(2)在t₁時刻加磁場，小球在時間t₀內做勻速圓周運動(如圖甲所示)，設圓周運動的周期為T₀，半徑為R₀.

豎直向下通過D點，則t₀＝3T₀/4，      ③

B₀qv₀＝m④

PF－PD＝R即v₀t₁－L＝R，            ⑤

將③④代入⑤式解得t₁＝＋.

(3)小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，小球在電場中的運動周期T也增加

在小球不飛出電場的情況下，當T₀最大時，有：

DQ＝2R，即＝，               ⑥

T₀＝＝，                     ⑦

結合⑥⑦式是B₀＝，

T₀＝.

結合軌跡圖可知，小球在電場中運動的最大周期T＝4×(＋t₀)．

結合上式解得T＝.

所以小球在電場中運動一個周期的軌跡如圖乙所示．