Question

一輕繩跨過兩個等高的輕定滑輪，兩端分別掛上質量m₁=4千克和m₂=2千克的物體，如圖所示，在滑輪之間的繩上懸掛物體M，為使三個物體能保持平衡．則M的取值范圍為

2

3

＜（千克）M＜

6

（千克）

Answer 1

分析：設出物體的質量，根據力的平衡列出等式，式子中變量較多，我們從消元開始解題，由兩式變形可以消去θ₂，把要求的變量用含有θ₁的式子表達，根據三角函數的特點，得到結果．

解答：解：設所求物體質量為mkg時，系統保持平衡，再設F₁與豎直方向的夾角為θ₁，F₂與豎直方向的夾角為θ₂，則根據平衡條件，有：

4gsinθ1=2gsinθ2                           ① 4gcosθ 1+2gcosθ2=mg               ②

由①式和②式消去θ₂，得
m²-8mcosθ₁+12=0，
即m=4cosθ₁±2               ③
∵cosθ₂＞0，∴由②式知，mg＞4gcosθ₁，故③式中m=4cosθ₁-2不合題意，舍去．
又由于△=4cos²θ₁-3≥0，解得

3

2

≤cosθ₁≤1．
經檢驗，當cosθ₁=1時，cosθ₂=0，不合題意，舍去．
∴2

3

＜m＜6．
所求物體的質量在2

3

kg到6kg之間變動時，系統可保持平衡．
故答案為：2

3

，6．

點評：本題也可以采用極值法，繩子的連接點三力平衡，其中重力方向豎直，兩個拉力的大小恒定，故要確定拉力合力范圍，但要考慮實際情況：①當θ₁與θ₂趨向于零時，m取最大值；②當較小的力趨向水平時，m取最小值．