Question

3．如圖所示，已知半徑分別為R和r的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面內，甲軌道左側又連接一個光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連．一小球自某一高度由靜止滑下，先滑過甲軌道，通過動摩擦因數為μ的CD段，又滑過乙軌道，最后離開．若小球在兩圓軌道的最高點對軌道壓力都恰好為零．試求：
（1）釋放小球的高度h．
（2）水平CD段的長度．

Answer 1

分析 （1）小球滾到兩圓軌道最高點均僅受重力，運用向心力公式可求出在其位置的速度．因為軌道光滑，則由機械能守恒定律可求出軌道最低點速度，從而也求出釋放的高度．
（2）由于CD段粗糙，不能運用機械守恒定律，選用動能定理，就可算出長度，

解答 解：（1）小球在光滑圓軌道上滑行時，機械能守恒，設小球滑過C點時的速度為v_c，通過甲環最高點速度為v′，根據小球對最高點壓力為零，有
$mg=m\;\frac{{v′}^{2}}{R}$…①
取軌道最低點為零勢能點，由機械守恒定律有：
 $\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v′}^{2}$…②
由①、②兩式消去v′，可得：
${v}_{c}\;=\sqrt{5gR}$…③
同理可得小球滑過D點時的速度為：
${v}_{D}=\sqrt{5gr}$…④
所以小球經過C點的速度為$\sqrt{5gR}$  經過D點的速度為$\sqrt{5gr}$
小球從在甲軌道左側光滑軌道滑至C點時機械能守恒，有：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$…⑤
由③、⑤兩式聯立解得：
h=2.5R
因此小球釋放的高度為2.5R
（2）設CD段的長度為l，對小球滑過CD段過程應用動能定理有：
$-μmgl=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$…⑥
由③、④、⑥三式聯立解得：
$l=\frac{5（R-r）}{2μ}$
則有水平CD段的長度為$\frac{5（R-r）}{2μ}$
答：（1）釋放小球的高度是2.5R．
（2）水平CD段的長度是$\frac{5（R-r）}{2μ}$．

點評 掌握向心力公式外，還熟悉了牛頓第二定律，最后比較了機械能守恒定律與動能定理的優缺點．本題中小球在軌道最高點壓力為零是解題的切入點．