Question

1．“探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發現A、B兩顆天體各有一顆靠近表面飛行的衛星，并測得兩顆衛星的周期相等，以下說法中正確的是（　　）

• A． 天體A、B表面的重力加速度與它們的半徑之比相等
• B． 兩顆衛星的線速度一定相等
• C． 天體A、B的質量一定相等
• D． 天體A、B的密度一定相等

Answer 1

分析 衛星繞球形天體運動時，由萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得出天體的質量與衛星周期的關系式，再得出天體密度與周期的關系式，然后進行比較．

解答 解：A、天體A、B表面的重力加速度等于衛星的向心加速度，即g=a=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，T相同，可見天體A、B表面的重力加速度之比等于它們的半徑正比．故A正確．
B、衛星的線速度為 v=$\frac{2πR}{T}$，T相等，而R不一定相等，線速度不一定相等．故B錯誤．
C、設A、B中任意天體的半徑為R，質量為M，衛星的質量為m，周期為T．則由題意，衛星靠近天體表面飛行，衛星的軌道半徑約等于天體的半徑，則有
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，得M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，T相等，R不一定相等，所以天體A、B的質量不一定相等．故C錯誤．
D、天體的密度為ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，可見，ρ與天體的半徑無關，由于兩顆衛星的周期相等，則天體A、B的密度一定相等．故D正確．
故選：AD

點評 本題是衛星繞行星運動的問題，要建立好物理模型，采用比例法求解．要熟練應用萬有引力定律、圓周運動的規律結合處理這類問題．