Question

8．如圖所示，內壁光滑質量為m的管形圓軌道，豎直放置在光滑水平地面上，恰好處在兩固定光滑擋板M、N之間，圓軌道半徑R，質量為m的小球能在管內運動，小球可視為質點，管的內徑忽略不計．當小球運動到軌道最高點時，圓軌道對地面的壓力剛好為零，下列判斷正確的是（　�。�

• A． 圓軌道對地面的最大壓力大小為8mg
• B． 圓軌道對擋板M、N的壓力總為零
• C． 小球運動的最小速度為$\sqrt{gR}$
• D． 小球離擋板N最近時，圓軌對擋板N的壓力大小為5mg

Answer 1

分析 抓住小球運動到最高點時，圓軌道對地面的壓力為零，求出最高點的速度，根據動能定理求出小球在最低點的速度，從而結合牛頓第二定律求出軌道對小球的支持力，得出圓軌道對地面的最大壓力．根據動能定理求出小球離擋板N最近時的速度，結合牛頓第二定律求出彈力的大�。�

解答 解：A、當小球運動到最高點時，圓軌道對地面的壓力為零，可知小球對圓軌道的彈力等于圓軌道的重力，根據牛頓第二定律得，mg+N=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，N=mg，解得最高點的速度${v}_{1}=\sqrt{2gR}$，該速度為小球的最小速度．根據動能定理得，mg•2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，根據牛頓第二定律得，N′-mg=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，聯立解得小球對軌道的最大壓力N′=7mg，則圓軌道對地面的最大壓力為8mg，故A正確，C錯誤．
B、在小球運動的過程中，圓軌道對擋板的一側有力的作用，所以對擋板M、N的壓力不為零，故B錯誤．
D、根據動能定理得，mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，根據牛頓第二定律得，$N″=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{R}$，聯立解得N″=4mg，則圓軌對擋板N的壓力為4mg，故D錯誤．
故選：A．

點評 本題考查了牛頓第二定律和動能定理的綜合運用，通過牛頓第二定律求出最高點的速度是解決本題的關鍵，知道小球在最低點時，圓軌道對地面的壓力最大．