Question

11．如圖所示，在xOy坐標系中，在y＜d的區域內分布有指向y軸正方向的勻強電場，在d＜y＜2d的區域內分布有垂直于xOy平面向里的勻強磁場，MN為電場和磁場的邊界，在y=2d處放置一垂直于y軸的足夠大金屬擋板，帶電粒子打到板上即被吸收．一質量為m、電量為+q的粒子以初速度v₀由坐標原點O處沿x軸正方向射入電場，已知電場強度大小為E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$，粒子的重力不計．
（1）要使粒子不打到擋板上，磁感應強度應滿足什么條件？
（2）通過調節磁感應強度的大小，可讓粒子剛好通過點P（4d，0）（圖中未畫出），求磁感應輕度的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，由初速度、勻加速直線運動的位移、加速度等求出末速度的大小和方向，進入磁場后做勻速圓周運動由洛侖茲力提供向心力和軌跡圓與金屬板相切的幾何關系求出最小的磁感應強度．
（2）粒子再次回到電場時做斜拋運動，再次到達x軸時速度恰恰水平，這樣粒子在x軸上前進一段距離，當前進的距離的整數倍為4d時，此時符合題目所要求的磁感應強度．

解答 解：（1）粒子先在電場中做類平拋運動，
  x=v₀t
  d=$\frac{1}{2}$at²
  其中a=$\frac{Eq}{m}$=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{2d}$
 得x=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
  進入磁場速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2ad}$=2v₀
  速度與x軸夾角tanθ=$\frac{at}{{v}_{0}}$=$\sqrt{3}$    所以  θ=60°
 粒子剛好不打到擋板上，軌跡與板相切
 設粒子在磁場中運動半徑為R，洛侖茲力提供向心力
 Bvq=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
 由幾何關系$\frac{3}{2}$R=d
 得B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
 故要使粒子不打到擋板上，B＞$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
（2）粒子再次回到x軸上，沿x軸前進的距離△x=2x-$\sqrt{3}$R=$\frac{4\sqrt{3}d}{3}$-$\sqrt{3}$R
  調節磁場0＜R＜$\frac{2}{3}$d，$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$＜△x＜$\frac{4\sqrt{3}d}{3}$ 
  粒子通過P點，回旋次數n=$\frac{4d}{△x}$
  n為整數，只能取n=2和n═3   
  n=2時，△x=2d   此時磁場B=$\frac{3（3+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{4qd}$
  n=3時，△x=$\frac{4}{3}$d   此時磁場B=$\frac{3（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qd}$
答：（1）要使粒子不打到擋板上，磁感應強度應滿足什么條件是B＞$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$．
（2）通過調節磁感應強度的大小，可讓粒子剛好通過點P（4d，0），磁感應輕度的大
  小為$\frac{3（3+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{4qd}$  （回旋2次）或$\frac{3（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qd}$（回旋3次）．

點評 本題的難點在于第二問，由于改變磁感應強度則粒子做勻速圓周運動的半徑隨之改變，粒子返回MN的位置也將變化，回到電場中做斜拋運動到達x軸的位置也將發生相應的變化，顯然只有回旋次數n與每回旋一次向前移動距離的乘積是4d時，磁感應強度才符合要求，這樣求出回旋次數及相應的磁感應強度．