Question

12．如圖，NPQ為一豎直平面內的光滑軌道，其中NP水平、PQ為半徑可調節的半圓軌道，最低點P與水平軌道平滑連接．質量為0.1kg的滑塊A和質量為0.2kg的滑塊B（均可視為質點）置于水平軌道上，開始時，A、B用細線相連接，之間有一被壓縮的輕質彈簧（彈簧在彈性限度內，且與A、B不拴接），整個系統處于靜止狀態．現燒斷細線，彈簧將A、B彈出，A以4m/s的速度向左運動進入半圓軌道（此時彈簧已恢復原長），最后從最高點Q水平飛出．（g=10m/s²）
（1）求彈簧被壓縮時的彈性勢能；
（2）若半圓軌道半徑為R₀=0.3m，求滑塊A運動到最高點時對Q點的壓力．

Answer 1

分析 （1）燒斷細線，彈簧將A、B彈出的過程系統的合外力為零，遵守動量守恒和機械能守恒，由動量守恒定律和機械能守恒定律結合求彈簧被壓縮時的彈性勢能；
（2）對A，根據機械能守恒定律求出A經過Q點時的速度，A運動到最高點時，由合力提供向心力，由牛頓定律求滑塊A運動到最高點時對Q點的壓力．

解答 解：（1）燒斷細線，彈簧將A、B彈出的過程，對A、B和彈簧組成的系統，取水平向左為正方向，由動量守恒定律得：
  m_Av_A-m_Bv_B=0
由機械能守恒定律得：
  E_p=$\frac{1}{2}$m_Av_A²+$\frac{1}{2}$m_Bv_B²．
聯立解得：彈簧被壓縮時的彈性勢能 E_p=1.2J
（2）對A，由機械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}$m_Av_A²=2mgR₀+$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{Q}^{2}$
設滑塊運動到最高點時軌道對Q點的壓力為F，由牛頓第二定律得：
   F+m_Ag=m_A$\frac{{v}_{Q}^{2}}{{R}_{0}}$
解得 F=$\frac{1}{3}$N
由牛頓第三定律知，滑塊運動到最高點時對Q點的壓力大小 F′=F=$\frac{1}{3}$N
答：（1）彈簧被壓縮時的彈性勢能是1.2J；
（2）若半圓軌道半徑為R₀=0.3m，滑塊A運動到最高點時對Q點的壓力是$\frac{1}{3}$N．

點評 本題是一道力學綜合題，分析清楚物體的運動過程，把握物塊到達Q點的臨界條件：重力等于向心力是解題的關鍵，應用牛頓第二定律、機械能守恒定律與動量守恒定律可以解題．