Question

11．如圖所示，光滑水平面內有兩根相互平行且足夠長的光滑導軌L₁和L₂，一個略長于導軌間距、質量為M的內壁光滑且絕緣的細管與導軌垂直放置．垂直紙面向里和向外的勻強磁場I、II分別分布在L₁兩側，磁感應強度大小均為B，方向如圖．細管內有一質量為m、帶電量為+q的小球（可視為質點），開始時小球與L₁的距離為d，小球和細管均處于靜止狀態．現對細管施加水平外力，使其從P₁位置以速度v₀向右勻速運動．設細管運動過程中始終保持與導軌垂直．

（1）當細管運動到L₁上的P₂位置時，小球從管口飛出，求此時小球的速度大小；
（2）求小球經磁場II偏轉后第一次回到L₁上的位置到P₂的距離．

Answer 1

分析 （1）運用運動的分解法，分析小球所受的洛倫茲力，由動能定理求小球從管口飛出時的速度大小．
（2）小球在磁場II中做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力列式，求出軌道半徑，再由幾何知識求解即可．

解答 解：（1）小球在水平面上運動時重力和支持力二力平衡，將洛茲倫力作如圖所示的分解，其中f_x與桿的彈力平衡，小球的合力等于洛倫茲力沿桿方向的分力f_y．可得 f_y=qv₀B
根據動能定理得 f_yd=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
則得，小球從管口飛出時沿管方向的分速度大小 v=$\sqrt{\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$
所以小球從管口飛出時的速度大小為 v′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$
（2）小球在磁場II中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力得
   qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$
解得 r=$\frac{m}{qB}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$
所以小球經磁場II偏轉后第一次回到L₁上的位置到P₂的距離為 S=2r=$\frac{2m}{qB}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$
答：
（1）小球從管口飛出時的速度大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$．
（2）小球經磁場II偏轉后第一次回到L₁上的位置到P₂的距離為$\frac{2m}{qB}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{v}_{0}Bd}{m}}$．

點評 解決本題的關鍵是運用運動的分解法和力的分解法研究洛倫茲力的分力，知道洛倫茲力沿桿方向的分力是恒力．要注意小球從管口飛出時的速度是合速度，不是分速度．