Question

9．如圖，在半徑為r的軸上懸掛著一個質量為M的水桶P，軸上均勻分布著6根手柄，每個柄端固定有質量均為m的金屬球，球離軸心的距離為l，輪軸、繩和手柄的質量及摩擦均不計，現由靜止釋放水桶，整個裝置開始轉動．
（1）從圖示位置開始轉過60°時，6個金屬球中重力勢能減少最多的是多少？
（2）當水桶下降的高度為h時，水桶的速度為多少？
（3）當水桶下降的高度為h時，若轉輪恰好轉過480°，求手柄對圖中最底部的球所做的功．

Answer 1

分析 （1）確定出金屬球下降的高度最大值，即可得到重力勢能減少最大值．
（2）水桶下降的過程中，水桶和金屬球組成的系統機械能守恒，根據機械能守恒定律列式求解水桶的速度；
（3）對最底部的球，運用動能定理求手柄對該球所做的功．

解答 解：（1）從圖示位置開始轉過60°時，6個金屬球中下降的最大高度為：h=2lsin30°=l
重力勢能減少最多的為：△E_p=mgh=mgl
（2）水桶下降的高度為h時，水桶的速度為v₁，金屬球的速度為v₂，系統的機械能守恒，則有：
   Mgh=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$×6mv₂²，
又：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{ωr}{ωl}$=$\frac{r}{l}$，解得：v₁=$\sqrt{\frac{2Mgh{r}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$，v₂=$\sqrt{\frac{2Mgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$
（3）當水桶下降的高度為h時，轉輪恰好轉過480°時，圖中最底部的球上升的高度為：
H=l（1+sin30°）=$\frac{3}{2}$l
對最底部的球，運用動能定理得：
W-mgH=$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得手柄對圖中最底部的球所做的功為：
W=$\frac{3}{2}$mgl+$\frac{Mmgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}$
答：（1）從圖示位置開始轉過60°時，6個金屬球中重力勢能減少最多的是mgl．
（2）當水桶下降的高度為h時，水桶的速度為$\sqrt{\frac{2Mgh{r}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$．
（3）當水桶下降的高度為h時，若轉輪恰好轉過480°，手柄對圖中最底部的球所做的功是$\frac{3}{2}$mgl+$\frac{Mmgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵要根據幾何關系分析水桶高度的變化，明確水桶的速度和金屬球的速度的關系，再運用系統的機械能守恒進行解答．