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9.如圖,在半徑為r的軸上懸掛著一個質量為M的水桶P,軸上均勻分布著6根手柄,每個柄端固定有質量均為m的金屬球,球離軸心的距離為l,輪軸、繩和手柄的質量及摩擦均不計,現由靜止釋放水桶,整個裝置開始轉動.
(1)從圖示位置開始轉過60°時,6個金屬球中重力勢能減少最多的是多少?
(2)當水桶下降的高度為h時,水桶的速度為多少?
(3)當水桶下降的高度為h時,若轉輪恰好轉過480°,求手柄對圖中最底部的球所做的功.

分析 (1)確定出金屬球下降的高度最大值,即可得到重力勢能減少最大值.
(2)水桶下降的過程中,水桶和金屬球組成的系統機械能守恒,根據機械能守恒定律列式求解水桶的速度;
(3)對最底部的球,運用動能定理求手柄對該球所做的功.

解答 解:(1)從圖示位置開始轉過60°時,6個金屬球中下降的最大高度為:h=2lsin30°=l
重力勢能減少最多的為:△Ep=mgh=mgl
(2)水桶下降的高度為h時,水桶的速度為v1,金屬球的速度為v2,系統的機械能守恒,則有:
   Mgh=$\frac{1}{2}$Mv12+$\frac{1}{2}$×6mv22
又:$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{ωr}{ωl}$=$\frac{r}{l}$,解得:v1=$\sqrt{\frac{2Mgh{r}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$,v2=$\sqrt{\frac{2Mgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$
(3)當水桶下降的高度為h時,轉輪恰好轉過480°時,圖中最底部的球上升的高度為:
H=l(1+sin30°)=$\frac{3}{2}$l
對最底部的球,運用動能定理得:
W-mgH=$\frac{1}{2}$mv22
解得手柄對圖中最底部的球所做的功為:
W=$\frac{3}{2}$mgl+$\frac{Mmgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}$
答:(1)從圖示位置開始轉過60°時,6個金屬球中重力勢能減少最多的是mgl.
(2)當水桶下降的高度為h時,水桶的速度為$\sqrt{\frac{2Mgh{r}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$.
(3)當水桶下降的高度為h時,若轉輪恰好轉過480°,手柄對圖中最底部的球所做的功是$\frac{3}{2}$mgl+$\frac{Mmgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}$.

點評 解決本題的關鍵要根據幾何關系分析水桶高度的變化,明確水桶的速度和金屬球的速度的關系,再運用系統的機械能守恒進行解答.

練習冊系列答案
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