Question

3．如圖所示，豎直環A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側各有一固定在地上的擋板，使B不能左右運動，在環的最低點靜置一小球C，A、B、C的質量均為m．給小球一水平向右的瞬時速度，小球會在環內側做圓周運動，為保證小球能通過環的最高點，且不會使環在豎直方向上跳起，則小球在最高點的速度必須滿足什么條件？

Answer 1

分析 小球能通過最高點的臨界情況是軌道對小球的彈力為零，靠重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出最高點的最小速度．為了不會使環在豎直方向上跳起，在最高點，環對小球的作用力不能超過A和B的重力，結合牛頓第二定律求出最高點的最大速度．

解答 解：在最高點，速度最小時有：$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$，解得：${v}_{1}=\sqrt{gr}$，
在最高點，速度最大時有：$mg+F=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$，F=2mg，解得：${v}_{2}=\sqrt{3gr}$，
所以保證小球能通過環的最高點，且不會使環在豎直方向上跳起，在最高點的速度范圍為$\sqrt{gr}≤v≤\sqrt{3gr}$．
答：小球在最高點的速度必須滿足$\sqrt{gr}≤v≤\sqrt{3gr}$．

點評 本題考查了牛頓第二定律和圓周運動的運用，關鍵理清在最高點的兩個臨界情況，求出在最高點的最大速度和最小速度．