Question

9．一水平傳送帶以恒定速度v₀運動，若使該傳送帶改做加速度大小為a的勻減速運動，并且在傳送帶開始做勻減速運動的同時，將一支粉筆頭放在傳送帶上并存在相對滑動．已知粉筆頭與傳送帶間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，且有μ＜$\frac{a}{g}$，求粉筆頭在傳送帶上能留下的劃線長度和相對于傳送帶運動的位移．

Answer 1

分析 粉筆頭放在傳送帶時，劃線的長度等于傳送帶與粉筆頭的相對位移大小，根據牛頓第二定律求出粉筆頭的加速度．粉筆頭先做勻加速運動，速度與傳送帶相同后，根據傳送帶的加速度與兩者靜止時粉筆頭最大靜摩擦力相比較，判斷粉筆頭的運動情況，根據位移公式和位移關系求解該粉筆頭在傳送帶上能留下的劃線的長度．

解答 解：傳送帶做勻減速運動，粉筆頭放在傳送帶后先做勻加速運動，加速度為：a′=$\frac{μmg}{m}$=μg
設經過時間t粉筆頭的速度與傳送帶相同，則有：
v=a′t=v₀-at
得：t=$\frac{{v}_{0}}{a+μg}$，v=$\frac{μg{v}_{0}}{a+μg}$
劃線長度為：△s=s_帶-s_粉=（v₀t-$\frac{1}{2}$at²）-$\frac{1}{2}a′{t}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2（a+μg）}$
粉筆頭與傳送帶共速后，由于μ＜$\frac{a}{g}$，有 μmg＜ma，傳送帶繼續做勻減速運動，粉筆頭也做勻減速運動，直到靜止．
故該段過程傳送帶位移為：s₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$
該過程粉筆頭的位移為：s₂=$\frac{{v}^{2}}{2a′}$
此過程兩者相對位移大小為：△s′=s₂-s₁=$\frac{（a-μg）μg{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$
粉筆頭相對于傳送帶運動的位移為：△s_總=△s-△s′=$\frac{（{a}^{2}+{μ}^{2}{g}^{2}）{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$
粉筆頭在傳送帶上能留下的劃線長度為：L=△s_總=$\frac{（{a}^{2}+{μ}^{2}{g}^{2}）{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$
答：粉筆頭在傳送帶上能留下的劃線長度和相對于傳送帶運動的位移都是$\frac{（{a}^{2}+{μ}^{2}{g}^{2}）{v}_{0}^{2}}{2a（a+μg）^{2}}$．

點評 本題中粉筆頭在傳送帶留下的劃線的長度等于兩者相對位移大小，分析粉筆頭的運動情況是關鍵．