Question

19．如圖所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的長方形區域中有一磁感應強度大小為B的勻強磁場，磁場的方向垂直于xOy平面向外．O處有一個粒子源，在某時刻發射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內的第一象限內（包括ox、oy軸）．若粒子在磁場中做圓周運動的周期為T，最先從磁場上邊界飛出的粒子經歷的時間為$\frac{T}{12}$，最后從磁場中飛出的粒子經歷的時間為$\frac{T}{4}$．不計粒子的重力及粒子間的相互作用，則
（1）粒子的入磁場的速度大小為多少？
（2）求長方形區域的邊長滿足關系．

Answer 1

分析 （1）根據題意，粒子運動時間最短時，其回旋的角度最小，畫出運動軌跡，根據幾何關系列出方程求解出軌道半徑，再根據洛倫茲力提供向心力得出速度大小；
（2）最后離開磁場的粒子，其運動時間最長，由題意畫出運動的軌跡，故可以根據幾何關系列出方程求變長之間的關系．

解答 解（1）最先從磁場上邊界中飛出的帶電粒子的運動軌跡可如圖表示：
可知此時粒子在磁場中偏轉的圓心角為30°，根據幾何關系得粒子運動的半徑r=2a，
根據牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
粒子的射入磁場的速度大小：v=$\frac{2qBa}{m}$；
（2）最后從磁場中飛出的帶電粒子在磁場中的運動軌跡可如圖表示：
設發射方向與y軸正方向的夾角為α，根據幾何關系有：
rsinα=r-a，rsinα=b-rcosα，解得：α=30°，b=（1+$\sqrt{3}$）a；
答：（1）粒子的入磁場的速度大小為$\frac{2qBa}{m}$．
（2）長方形區域的邊長滿足關系為：b=（1+$\sqrt{3}$）a．

點評 本題關鍵是畫出運動時間最短的粒子的運動軌跡，然后根據幾何關系得到軌道半徑，再根據洛侖茲力提供向心力得到速度大小．