Question

16．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點間的距離為L；若拋出時的初速度不變，高度增大到原來的2倍，則拋出點到落地點間的距離為$\sqrt{3}$L，已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常量為G．
求：（1）該星球表面的重力加速度g是多少？
（2）該星球的密度ρ是多少？

Answer 1

分析 （1）運用平拋運動規律表示出拋出點與落地點之間的距離求解星球表面重力加速度．
（2）求出重力加速度，再結合金代換$GM=g{R}_{\;}^{2}$，可求的星球質量，再根據密度等于質量除以體積求解．

解答 解：（1）拋出點高度h、水平射程x與L之間有關系：L²=h²+x²
當初速度不變，拋出高度增加到原來的2倍時，水平射程增加到原來$\sqrt{2}$x，
則有${（\sqrt{3}L）^2}={（2h）^2}+{（\sqrt{2}x）^2}$
解得  $h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$又$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
所以$g=\frac{{\sqrt{2}L}}{t^2}$
（2）在星球表面上$G\frac{Mm}{R^2}=mg$得$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
所以$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$=$\frac{3g}{4πRG}=\frac{{3\sqrt{2}L}}{{4πRG{t^2}}}$  
答：（1）該星球表面的重力加速度g是$\frac{\sqrt{2}L}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）該星球的密度ρ是$\frac{3\sqrt{2}L}{4πRG{t}_{\;}^{2}}$

點評 本題提供了利用重力加速度估測星球質量的一種方法，利用平拋運動的分位移和合位移關系公式計算出重力加速度是關鍵