Question

光滑水平面上放著質量為m_A=1kg的物塊A和質量m_B=2kg的物塊B，A和B均可視為質點，A靠在豎直墻壁上，A、B間夾一個被壓縮的輕彈簧但與彈簧不拴接，用手擋住B不動，此時彈簧彈性勢能E_P=49J．在A、B間系一輕質細繩，細繩長度大于彈簧的自然長度，如圖所示．放手后B向右運動，細繩在短暫時間內被拉斷，之后B沖上固定在豎直平面內，底端與水平面光滑連接，半徑R=0.5m的半圓形光滑軌道，已知B恰好能通過豎直軌道的最高點C，取g=10m/s²，求：
（1）繩拉斷前瞬間B速度v₀的大小；
（2）繩拉斷后瞬間B速度v_B的大��；
（3）假設A在向右運動過程中沒有碰到B，那么A能否到達軌道上與圓心等高的P點處？若能，求出A在P點處對軌道的壓力；若不能，求出A能到達的最大高度．

Answer 1

分析：（1）繩斷之間，彈簧已與A、B脫離，根據彈性勢能全部轉化為B的動能列出等式求解，
（2）在最高點C處，B所受重力恰好提供其做圓周運動的向心力，從繩斷至到達最高點C，B物體機械能守恒列出等式求解．
（3）繩拉斷的過程A和B組成的系統動量守恒列出等式，從繩斷到A至P的過程中A的機械能守恒列出等式，在P點處，軌道對A的支持力提供其做圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律求解．

解答：解：（1）繩斷之間，彈簧已與A、B脫離，其彈性勢能全部轉化為B的動能
E_P=

1

2

m

v

2 0

　
得v₀=7 m/s
（2）在最高點C處，B所受重力恰好提供其做圓周運動的向心力
m_Bg=m_B

v 2 C

R

　
從繩斷至到達最高點C，B物體機械能守恒

1

2

m_B

v

2 B

=2m_BgR+

1

2

m_B

v

2 C

　
得v_B=5m/s　
（3）繩拉斷的過程A和B組成的系統動量守恒
m_Bv₀=m_Bv_B+m_Av_A　
設A到達P點時的速度為v_AP，從繩斷到A至P的過程中A的機械能守恒

1

2

m_A

v

2 A

=m_AgR+

1

2

m_A

v

2 AP

得v_AP=

6

m/s＞0，A能到達P點，在P點處，軌道對A的支持力提供其做圓周運動的向心力
F_N=m_A

v 2 AP

R

=12N　
由牛頓第三定律可知，A對軌道的壓力F_N=F_N′=12N，方向水平向右
答：（1）繩拉斷前瞬間B速度v₀的大小是7 m/s；
（2）繩拉斷后瞬間B速度v_B的大小是5m/s；
（3）A能到達P點，出A在P點處對軌道的壓力是12N，方向水平向右．

點評：該題考查了多個知識點．我們首先要清楚物體的運動過程，要從題目中已知條件出發去求解問題．
其中應用動能定理時必須清楚研究過程和過程中各力做的功．應用動量定理和動量守恒定律時要規定正方向，要注意矢量的問題．