Question

半徑為R的半圓形光滑軌道豎直放置，與粗糙水平軌道相接于最低點(diǎn)，水平軌道的最右端有一豎直擋板．今有一質(zhì)量為m的小球從軌道最高點(diǎn)水平飛入軌道，飛入時(shí)對(duì)軌道的壓力3mg．已知小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因素為μ．
（1）求小球第一次過半圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力的大小？
（2）小球第一次與擋板發(fā)生碰撞（碰撞過程中無機(jī)械能損失）后，恰能返回半圓軌道最高點(diǎn)，求水平軌道的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）、此題要找到幾個(gè)狀態(tài)，一是第一次經(jīng)過最高點(diǎn)，二是第一次經(jīng)過最低點(diǎn)，三是第二次經(jīng)過最高點(diǎn)，對(duì)這三個(gè)狀態(tài)進(jìn)行分析．第一次經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，小球的重力和軌道最小球的支持力提供向心力，由向心力公式可求出此時(shí)的速度，由最高點(diǎn)到第一次經(jīng)過最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒．應(yīng)用能量關(guān)系求出速度v₁，由向心力求出軌道對(duì)小球的支持力，再由牛頓第三定律可知小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）、第二次回到最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力，求出此時(shí)的速度v₂，整個(gè)過程除重力做功外，還有摩擦力做功，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒可求出水平軌道的長(zhǎng)度．
解答：解：
（1）、小球飛入軌道時(shí)的速度為v，第一次過最低點(diǎn)的速度為v₁，受到的支持力為N₁，則由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律、機(jī)械能守恒定律得：
小球在最高點(diǎn)時(shí)：…①
小球在最低點(diǎn)時(shí)：…②
…③
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)得：N₁=9mg
由牛頓第三定律得小球第一次過最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力：N₁′=N₁=9mg
（2）、由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)能定理得：
恰能回到最高點(diǎn)時(shí)，有：…④
…⑤
聯(lián)立以上各式解得：
答：（1）求小球第一次過半圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力為9mg．
（2）水平軌道的長(zhǎng)度為．
點(diǎn)評(píng)：小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過最高點(diǎn)的條件是速度，當(dāng)速度為時(shí)，對(duì)軌道沒有壓力，此時(shí)只有重力提供向心力．
在解答第一問時(shí)，由求得的N₁是小球受到的支持力，問的是小球?qū)�管道的壓力，此處一定要用牛頓第三定律．