Question

4．如圖所示，在xOy坐標系中，坐標原點O處有一點狀的放射源，它向xOy平面內的x軸上方各個方向發射α粒子，α粒子的速度大小均為v₀，在0＜y＜d的區域內分布有指向y軸正方向的勻強電場，場強大小為E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$，其中q與m分別為α粒子的電量和質量；在d＜y＜2d的區域內分布有垂直于xOy平面向里的勻強磁場，mn為電場和磁場的邊界．ab為一塊很大的平面感光板垂直于xOy平面且平行于x軸，放置于y=2d處，如圖所示．觀察發現此時恰好無粒子打到ab板上（不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用），求：
（1）α粒子通過電場和磁場邊界mn時的速度大小及距y軸的最大距離；
（2）磁感應強度B的大小．

Answer 1

分析 （1）根據平拋運動規律可求出粒子到達的最遠距離；根據動能定理求出α粒子剛進人磁場時的動能．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進入磁場偏轉的角度最大，若該粒子進入磁場不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據帶電粒子在電場中類平拋運動，求出進入磁場中的偏轉角度，結合幾何關系得出軌道半徑，從而得出磁感應強度的大小．

解答 解：（1）據題意，當α粒子沿x軸方向運動時，做類平拋運動，當運動到mn上時與y軸距離最大有：
由平拋運動規律可知：
豎直方向上：d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
水平方向：x=v₀t
粒了孤加速度：a=$\frac{qE}{m}$
而由題意可知：E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$
聯立解得：最遠距離為：x=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
根據動能定理可以求得α粒子通過電場和磁場邊界mn時的速度大小為：
qEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得v=2v₀；
（2）要使粒子打不到屏ab上，沿x軸方向向右運動的粒子通過mn后繼續運動，剛好與屏ab相切，則有：
R+Rsin30°=d
R=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
答：（1）α粒子通過電場和磁場邊界mn時的速度大小為2v₀；及距y軸的最大距離為$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
（2）磁感應強度B的大小為$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$

點評 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵確定粒子運動的臨界情況，通過幾何關系解決，對學生數學幾何能力要求較高．注意粒子在電場中時要利用運動的合成和分解規律求解．