Question

7．如圖所示，半徑為R的光滑金屬環豎直放置，環上套有一質量為m的小球，小球開始時靜止于最低點．現給小球一沖擊，使它以初速度v₀沿環上滑，已知v₀=$\sqrt{6Rg}$．求：
（1）小球運動到環的最高點時的速度．
（2）若金屬環粗糙，小球運動到環的最高點時速度為（Rg）${\;}^{\frac{1}{2}}$，機械能守恒嗎？你能否求出小球從最低點運動到最高點的過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律即可求出小球在最高點的速度；
（2）結合（1）的解答說明機械能是否守恒；由動能定理即可求出摩擦力做的功．

解答 解：（1）小球向上運動的過程中，由于軌道光滑，只有重力做功，由機械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：v=$\sqrt{2gR}$
（2）小球運動到環的最高點時速度若為$\sqrt{gR}$，則：$\frac{1}{2}mv{′}^{2}+2mgR＜\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，所以小球的機械能不守恒
設摩擦力做的功為W，由動能定理可得：$-mg2R+W=\frac{1}{2}m{v′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：W=-mgR
即小球克服摩擦力做功為mgR．
答：（1）小球運動到環的最高點時的速度是$\sqrt{2gR}$．
（2）若金屬環粗糙，小球運動到環的最高點時速度為$\sqrt{gR}$，機械能不守恒；小球從最低點運動到最高點的過程中克服摩擦力所做的功是mgR．

點評 本題主要要掌握機械能守恒定律和動能定理的應用，選取好研究過程是解答的關鍵．