Question

10．如圖所示，固定在豎直平面內的軌道由硬桿制成，其中水平軌道BC和EF的長度均為2R、AB、FG部分的傾角均為θ=30°，CDE部分是半徑為R的半圓軌道，B、C、E、F四點共線且各部分均平滑連接，將一質量為m的圓環套在軌道上從A點由靜止釋放，已知AB=6R，小環與BC和EF間的動摩擦因數均為μ=0.1，軌道其他部分均光滑，重力加速度為g，求：
（1）小環從釋放至第一次到達B點所用的時間；
（2）小環第一次向右通過半圓軌道的最高點D時，對軌道的作用力；
（3）小環通過最高點D的次數及其最終停在軌道上的位置．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出小環下滑的加速度，結合位移時間公式求出小環從釋放至第一次到達B點所用的時間；
（2）根據動能定理求出最高點的速度，結合牛頓第二定律求出作用力的大小．
（3）對全過程運用動能定理，求出在水平軌道上的運動路程，從而得出小環通過最高點D的次數，從而確定停在軌道上的位置．

解答 解：（1）根據牛頓第二定律得，小環沿AB下滑的加速度a=$\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ=\frac{1}{2}g$，
根據$6R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，小環從釋放第一次到達B點的時間t=$\sqrt{\frac{12R}{a}}=\sqrt{\frac{24R}{g}}$．
（2）對A到D段運用動能定理得，$mg（6Rsinθ-R）-μmg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-0$，
在最高點D，根據牛頓第二定律得，mg+F=$m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
解得F=2.6mg．
（3）對全過程運用動能定理得，mg•6Rsinθ-μmgs=0，
解得s=30R．
n=$\frac{s}{4R}$=7.5，可知小環通過最高點D的次數為 7次，最后停在E處．
答：（1）小環從釋放至第一次到達B點所用的時間為$\sqrt{\frac{24R}{g}}$；
（2）小環第一次向右通過半圓軌道的最高點D時，對軌道的作用力為2.6mg；
（3）小環通過最高點D的次數為7次，其最終停在軌道上的位置為E處．

點評 本題考查了牛頓第二定律和動能定理的綜合運用，知道最高點向心力的來源，運用牛頓第二定律進行求解，難度不大．