Question

12．如圖所示，淺色傳送帶A、B兩端距離L=24m，以速度v₀=8m/s逆時針勻速轉動，并且傳送帶與水平面的夾角為θ=30°，現將一質量為m=2kg的放在傳送帶的A端，煤塊與傳送帶間動摩擦因數μ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，g取10m/s²，則下列敘述正確的是（　　）

• A． 煤塊從A端運動到B端所經歷時間為3s
• B． 煤塊從A端運動到B端重力的瞬時功率為240W
• C． 煤塊從A端運動到B端留下的黑色痕跡為4m
• D． 煤塊從A端運動到B端因摩擦產生的熱量為24J

Answer 1

分析 對煤塊進行受力分析，開始時，受到重力、支持力、向下的滑動摩擦力，處于加速階段；當速度等于傳送帶速度時，根據重力的下滑分力與最大靜摩擦力的關系，分析木塊能否勻速下滑，否則，繼續加速．根據位移公式求解時間，從而求得總時間．由速度公式求解煤塊從A端運動到B端時的速度，由P=mgvsinθ求重力的瞬時功率．黑色痕跡的長度等于煤塊與傳送帶間相對位移的大小．因摩擦產生的熱量等于摩擦力與相對位移的乘積．

解答 解：煤塊放在傳送帶后受到沿斜面向下的滑動摩擦力作用，一定先向下做勻加速直線運動．
設經過時間t₁，煤塊的速度與傳送帶相同，勻加速運動的加速度大小為a₁，則根據牛頓第二定律得：
  mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，可得 a₁=g（sinθ+μcosθ）=10×（sin30°+$\frac{\sqrt{3}}{5}$×cos30°）=8m/s²
由 v₀=a₁t₁ 得 t₁=1s
此過程通過的位移大小為 x₁=$\frac{{v}_{0}}{2}$t₁=$\frac{8}{2}$×1m=4m＜L．
由于mgsinθ＞μmgcosθ．故煤塊速度大小等于傳送帶速度大小后，繼續勻加速向下運動，受到的滑動摩擦力沿斜面向上．
設煤塊接著做勻加速運動的加速度為a₂，運動的時間為t₂，則
  mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，可得 a₂=g（sinθ-μcosθ）=10×（sin30°-0.5×cos30°）=2m/s²
由L-x₁=v₀t₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，代入數據得：
  24-4=8t₂+$\frac{1}{2}×2×{t}_{2}^{2}$
解得 t₂=2s．
故煤塊從A到B的運動時間是t=t₁+t₂=3s．故A正確．
B、煤塊從A端運動到B端時速度 v=v₀+a₂t₂=8+2×2=12m/s，此時重力的瞬時功率為 P=mgvsinθ=2×10×12×sin30°=120W，故B錯誤．
C、由于兩個過程煤塊與傳送帶間的相對位移大小（v₀t₁-x₁）=[（L-x₁）-v₀t₂]，所以煤塊從A端運動到B端留下的黑色痕跡長度為 S=v₀t₁-x₁=8×1-4=4m．故C正確．
D、煤塊從A端運動到B端因摩擦產生的熱量為 Q=μmgcosθ{（v₀t₁-x₁）+[（L-x₁）-v₀t₂]}代入數據解得 Q=48J，故D錯誤．
故選：AC

點評 解決本題的關鍵理清煤塊在傳送帶上的運動規律，結合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解，知道加速度是聯系力學和運動學的橋梁．要注意摩擦生熱與相對路程有關．