Question

8．發射宇宙飛船的過程要克服引力做功，已知將質量為m的飛船在距地球中心無限遠處移到距地球中心為r處的過程中，引力做功為W=$\frac{GMm}{r}$，飛船在距地球中心為r處的引力勢能公式為E_p=$\frac{GMm}{r}$，式中G為引力常量，M為地球質量．若在地球的表面發射一顆人造地球衛星，如果發射的速度很大，此衛星可以上升到離地心無窮遠處（即地球引力作用范圍之外），這個速度稱為第二宇宙速度（也稱逃逸速度）．
（1）試推導逃逸速度的表達式．
（2）已知逃逸速度大于真空中光速的天體叫黑洞，設某黑洞的質量等于太陽的質量M=1.98×10³⁰kg，求它的可能最大半徑？

Answer 1

分析 （1）根據題意，由動能定理列式即可推導出逃逸速度的表達式
（2）根據題意，黑洞表面脫離的速度應大于光速，根據${v}_{2}^{\;}＞c$，即可求解

解答 解：（1）根據動能定理有，$-G\frac{Mm}{R}=0-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得，${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$（其中G、M、R分別表示萬有引力常量、天體質量和半徑）
（2）對于黑洞模型來說，其逃逸速度大于真空中的光速，即${v}_{2}^{\;}＞c$
所以$R＜\frac{2GM}{{c}_{\;}^{2}}=\frac{2×6.67×1{0}_{\;}^{-11}×1.98×1{0}_{\;}^{30}}{（3×1{0}_{\;}^{8}）_{\;}^{2}}$=$2.94×1{0}_{\;}^{3}m$
答：（1）逃逸速度表達式推導如上
（2）黑洞可能的最大半徑$2.94×1{0}_{\;}^{3}m$

點評 本題考查萬有引力定律和圓周運動向心力公式的直接應用，要注意任何物體均不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速．