Question

18．如圖所示，一小物體從光滑的$\frac{1}{4}$圓軌道的頂端A點處靜止釋放，到達底端時滑入水平的傳送帶，傳送帶由電動機驅使逆時針轉動，速度的大小始終是v．已知圓軌道的半徑為R，傳送帶與物體之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，假設傳送帶無限長，則（　　）

• A． 若v≥$\sqrt{2gR}$，則小物體能再次返回到A點處
• B． 若0＜v＜$\sqrt{2gR}$，則小物體能再次返回到A點處
• C． 若v≥$\sqrt{2gR}$，整個過程中產生的內能Q=2mv$\sqrt{2gR}$
• D． 若0＜v＜$\sqrt{2gR}$，整個過程中產生的內能Q=2mv$\sqrt{2gR}$

Answer 1

分析 物體在曲面上運動時，機械能守恒，根據機械能守恒定律求出物體到達曲面底端時的速度大小，分兩種情況討論，若傳送帶速度大于物體到達曲面底端時的速度，物體在傳送帶上先向右時做勻減速直線運動，速度減為零后，向右做勻加速直線運動，返回時到達圓軌道底端的速度仍為到達底端的速度，若傳送帶速度小于物體到達曲面底端時的速度，物體在傳送帶上先向右時做勻減速直線運動，速度減為零后，向右做勻加速直線運動，返回時到達圓軌道底端的速度與傳送帶速度相等，整個過程中產生的內能等于摩擦力乘以相對位移，根據牛頓第二定律結合運動學基本公式求解．

解答 解：A、物體從曲面上下滑時機械能守恒，有$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，解得物體滑到底端時的速度${v}_{0}=\sqrt{2gR}$，物體在傳送帶上先向右時做勻減速直線運動，速度減為零后，向右做勻加速直線運動，
若v≥$\sqrt{2gR}$，返回時到達圓軌道底端的速度仍為速度${v}_{0}=\sqrt{2gR}$，則小物體能再次返回到A點處，若0＜v＜$\sqrt{2gR}$，返回時到達圓軌道底端的速度為v，則不能到達A點，故A正確，B錯誤；
C、若v≥$\sqrt{2gR}$，物體在傳送帶上向右時做勻減速直線運動的加速度大小a=$\frac{μmg}{m}=μg$，運動的位移${x}_{1}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{gR}{μg}$，運動的時間$t=\frac{{v}_{0}}{μg}=\frac{\sqrt{2gR}}{μg}$，則傳送帶運動的位移${x}_{2}=vt=\frac{v\sqrt{2gR}}{μg}$，
相對位移$△{x}_{1}={x}_{1}+{x}_{2}=\frac{gR}{μg}+\frac{v\sqrt{2gR}}{μg}$，返回時做勻加速直線運動，加速度大小和運動時間都不變，則相對位移$△{x}_{2}={x}_{2}-{x}_{1}=\frac{v\sqrt{2gR}}{μg}-\frac{gR}{μg}$，
則整個過程中產生的熱量Q=μmg（△x₁+△x₂）=2mv$\sqrt{2gR}$，故C正確；
D、若0＜v＜$\sqrt{2gR}$，則返回時速度等于v后和傳送帶一起勻速運動，返回時的相對位移小于v≥$\sqrt{2gR}$時返回的相對位移，則產生的熱量Q＜2mv$\sqrt{2gR}$，故D錯誤．
故選：AC

點評 本題綜合考查了機械能守恒定律、牛頓第二定律以及運動學基本公式的直接應用，綜合性較強，明確整個過程中產生的內能等于摩擦力乘以相對位移，難度適中．