Question

14．如圖所示在xOy平面的第二和第四象限中，存在兩個場強大小均為E的勻強電場Ⅱ和Ⅰ，兩電場的邊界均是邊長為L的正方形，在第一象限的區域Ⅲ內存在一勻強磁場，磁感應強度的大小和方向未知，不考慮邊緣效應，一電子（已知質量為m，電量為e）從GF中點靜止釋放（不計電子所受重力），恰垂直經過y軸．

（1）求在區域Ⅲ內的勻強磁場的磁感應強度的大小和方向．
（2）求電子離開ABCD區域的位置．
（3）在電場Ⅰ區域內適當位置由靜止釋放電子，電子恰能垂直經過y軸，求所有釋放點的位置．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出電子進入磁場時的速度，在磁場中勻速圓周運動，根據幾何關系求出半徑，由半徑公式求出磁感應強度的大小，由左手定則求出磁感應強度的方向；
（2）在GF邊的中點處由靜止釋放電子，電場力對電子做正功，根據動能定理求出電子進入磁場時的速度．在磁場中運動$\frac{1}{4}$圓周，進入電場II后電子做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻加速直線運動，由牛頓第二定律求出電子的加速度，由運動學公式結合求出電子離開ABCD區域的位置坐標．
（3）在電場I區域內適當位置由靜止釋放電子，電子先在電場Ⅰ中做勻加速直線運動，進入磁場后勻速圓周運動，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出位置x與y的關系式．

解答 解：（1）在區域Ⅰ中，電子經電場加速獲得的速度為v0，根據動能定理，有：
$eEL=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2eEL}{m}}$…①
在區域Ⅲ中，電子做勻速圓周運動，半徑$R=\frac{L}{2}$，根據洛倫茲力提供向心力，有：
$e{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{eB}$…②
聯立①②得：$B=2\sqrt{\frac{2Em}{eL}}$
根據左手定則，磁感應強度的方向垂直紙面向外
（2）進入電場Ⅱ后電子做類平拋運動，假設電子從CD邊射出，出射點縱坐標為y，有：
$\frac{L}{2}-y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
根據牛頓第二定律：$a=\frac{eE}{m}$
運動時間$t=\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}$
代入解得$y=\frac{L}{4}$，即電子離開ABCD區域的位置坐標為$（-2L，\frac{L}{4}）$
（3）設釋放點在電場區域Ⅰ中，其坐標為（x，y），在電場Ⅰ中電子被加速到${v}_{1}^{\;}$，然后進入磁場做勻速圓周運動，因為電子恰能垂直經過y軸，所以
R′=x
$eE|y|=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
進入磁場做勻速圓周運動，有$e{v}_{1}^{\;}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R′}$
得：$R′=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{eB}$
聯立解得：${x}_{\;}^{2}=\frac{2mE}{e{B}_{\;}^{2}}|y|$
答：（1）在區域Ⅲ內的勻強磁場的磁感應強度的大小$2\sqrt{\frac{2Em}{eL}}$和方向垂直紙面向外．
（2）電子離開ABCD區域的位置（-2L，$\frac{L}{4}$）．
（3）在電場Ⅰ區域內適當位置由靜止釋放電子，電子恰能垂直經過y軸，所有釋放點的位置滿足${x}_{\;}^{2}=\frac{2mE}{e{B}_{\;}^{2}}|y|$

點評 本題主要考查了帶點粒子在混合場中運動的問題，要求能夠正確分析電子的受力情況，再通過受力情況分析其運動情況，圓周運動的基本公式，用幾何關系解題，難度較大．