Question

19．一平行金屬導軌水平面內固定，導軌間距L=0.5m，導軌右端接有電阻R₁=4Ω小燈泡，導軌電阻不計．如圖甲，在導軌的MNQP矩形區域內有豎直向上的磁場，MN、PQ間距d=3m，此區域磁感應強度B隨時間t變化規律如圖乙所示，垂直導軌跨接一質量m=1kg金屬桿，其電阻r=1Ω，金屬桿與導軌間的動摩擦因數為μ=0.2，在t=0時刻，給金屬棒以速度v₀=2m/s，同時施加一向右的外力F，使其從GH處向右運動，在0-2s內小燈發光亮度始終沒變化，求：
（1）通過計算分析2s內金屬桿的運動情況
（2）計算2s內外力F的大小
（3）計算2s內整個系統產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）金屬桿未進入磁場時，回路產生恒定的感應電動勢，金屬桿做勻加速運動．在0-2s內小燈發光亮度始終沒變化，說明金屬桿在1-2s內應做勻速運動．
（2）由法拉第電磁感應定律可得出感應電動勢的大小，由電路的性質可得出電阻，則可求得通過燈泡的電流；根據金屬桿進入磁場后做勻速運動，由平衡條件和安培力公式解出F的大小．
（3）根據焦耳定律求2s內整個系統產生的焦耳熱．

解答 解：（1）金屬桿未進入磁場時，不受安培力，做勻加速運動．燈泡亮度一直不變，則知t=1s時，金屬桿剛好進入磁場，且進入磁場后做勻速運動．
（2）金屬桿未進入磁場時，電路中總電阻：R_總=R₁+r=5Ω
由法拉第電磁感應定律可得感應電動勢為：
E₁=$\frac{△B}{△t}$S=$\frac{△B}{△t}$dL=$\frac{2}{1}$×3×0.5V=3V
通過燈泡的電流為：I=$\frac{E}{{R}_{總}}$=0.6A
由題，燈泡亮度一直不變，則知t=1s時，金屬桿剛好進入磁場，且進入磁場后做勻速運動，由平衡條件得：
1-2s內，F₂=μmg+BIL=0.2×1×10+2×0.6×0.5=2.6N
設t=1s時，金屬棒的速度為v，則有  E₂=BLv
又 E₂=E₁
解得 v=3m/s
在0-1s內金屬棒的加速度為 a=$\frac{v-{v}_{0}}{{t}_{1}}$=$\frac{3-2}{1}$=1m/s²，
根據牛頓第二定律得：F₁-μmg=ma
解得 F₁=3N
（3）2s內整個系統產生的焦耳熱為：Q=I²（R+r）t=0.6²×5×2J=3.6J
答：
（1）2s內金屬桿的運動情況先做勻加速直線運動，進入磁場后做勻速直線運動．
（2）在0-1s內F的大小為3N，在1-2s內外力F的大小是2.6N．
（3）2s內整個系統產生焦耳熱是3.6J．

點評 本題是電磁感應綜合題，涉及知識點較多，掌握好法拉第電磁感應定律、安培力、閉合電路的歐姆定律及電路的性質即可順利求解．